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Segundo ciclo. Cálculo mental con números naturales. Aportes para la enseñanza. Ministerio de Educación
- Óscar Lara Ortíz
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1 Segundo ciclo Cálculo mental con números naturales Aportes para la enseñanza Escuela Primaria Ministerio de Educación
2 Segundo ciclo Cálculo mental con números naturales Aportes para la enseñanza ESCUELA PRIMARIA
3 Ministerio de Educación de la Ciudad de Buenos Aires. Dirección de Currícula y Enseñanza Matemática : cálculo mental con números naturales. - 1a ed. - Buenos Aires : Ministerio de Educación - Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, p. ; 30x21 cm. - (Aportes para la enseñanza. Escuela Primaria. Segundo ciclo) ISBN Matemática. 2. Enseñanza Primaria. I. Título CDD Reedición de Cálculo mental con números naturales. Apuntes para la enseñanza, G.C.B.A., Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, 2005 (Plan Plurianual para el Mejoramiento de la Enseñanza, ). ISBN: Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza, 2010 Hecho el depósito que marca la Ley Esmeralda 55, 8º piso C1035ABA - Buenos Aires Teléfono/Fax: Correo electrónico: Permitida la transcripción parcial de los textos incluidos en este documento, hasta palabras, según Ley , art. 10º, colocando el apartado consultado entre comillas y citando la fuente; si este excediera la extensión mencionada, deberá solicitarse autorización a la Dirección de Currícula y Enseñanza. Distribución gratuita. Prohibida su venta.
4 Jefe de Gobierno Mauricio Macri Ministro de Educación Esteban Bullrich Subsecretaria de Inclusión Escolar y Coordinación Pedagógica Ana María Ravaglia Directora General de Planeamiento Educativo María de las Mercedes Miguel
5 MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales Segundo ciclo Aportes para la enseñanza. Escuela Primaria. Reedición de Cálculo mental con números naturales, título publicado en la serie Plan Plurianual para el Mejoramiento de la Enseñanza Dirección de Currícula y Enseñanza Gabriela Polikowski Coordinación de Educación Primaria Susana Wolman Adriana Casamajor Elaboración del material Coordinación del documento original Patricia Sadovsky Especialistas María Emilia Quaranta Héctor Ponce Lectura para reedición Horacio Itzcovich Edición a cargo de la Dirección de Currícula y Enseñanza Coordinación editorial: Paula Galdeano Edición: Gabriela Berajá, María Laura Cianciolo, Marta Lacour, Virginia Piera y Sebastián Vargas Coordinación de arte: Alejandra Mosconi Diseño gráfico: Patricia Leguizamón y Patricia Peralta Apoyo administrativo: Andrea Loffi, Olga Loste, Jorge Louit y Miguel Ángel Ruiz Distribución y logística: Marianela Giovannini
6 Presentación El Ministerio de Educación del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, comprometiéndose con la provisión de recursos de enseñanza y materiales destinados a maestros y alumnos, presenta a la comunidad educativa la reedición de los siguientes documentos curriculares para el trabajo en las aulas de segundo ciclo en el área de Matemática. Matemática. Fracciones y números decimales: integrado por un conjunto de documentos destinados a cada grado del segundo ciclo, en los que se aborda el tratamiento didáctico de los números racionales contemplando el complejo problema de su continuidad y profundización a lo largo del ciclo. En su versión original elaborada en el marco del Plan Plurianual para el Mejoramiento de la Enseñanza en Segundo Ciclo del Nivel Primario la serie estaba compuesta por Apuntes para la enseñanza, destinados a docentes de 4º, 5º, 6º y 7º grado, y de Páginas para el alumno de 4º a 6º grado. Cada documento de Apuntes para la enseñanza está organizado en actividades que implican una secuencia de trabajo en relación con un contenido. En cada actividad los docentes encontrarán una introducción al tema, problemas para los alumnos, su análisis y otros aportes que contribuyen a la gestión de la clase. En la presente reedición las páginas para el alumno se encuentran incluidas en el documento para los docentes a modo de anexo. Cabe aclarar que la elección de números racionales obedece como puede leerse en la Introducción a varias razones: es un campo de contenidos complejo, ocupa un lugar central en la enseñanza en segundo ciclo, y la propuesta formulada en el Diseño Curricular para la Escuela Primaria 2004 plantea modificaciones al modo en el que se concibió su tratamiento didáctico en la escuela durante mucho tiempo. Por ello, se requieren para su enseñanza materiales más cercanos al trabajo del aula y que puedan constituir un aporte para abordar su articulación y evolución a lo largo del ciclo. Matemática. Cálculo mental con números naturales y Matemática Cálculo mental con números racionales. 1 Estos documentos, también elaborados en el marco del Plan Plurianual para el Mejoramiento de la Enseñanza en Segundo Ciclo del Nivel Primario, constituyen referentes para los docentes del segundo ciclo: el primero se encuadra en los contenidos de 4º y 5º grado, y el relativo a números racionales está orientado a 6º y 7º grado. Sin embargo, cabe la posibilidad de que los alumnos de 6º y 7º grado que hayan tenido poca experiencia de trabajo con el cálculo mental tomen contacto con algunas de las propuestas incluidas en el documento sobre números naturales. Los materiales constan además de una introducción teórica sobre la concepción del cálculo mental, las diferencias y relaciones entre el cálculo mental y el algorítmico, reflexiones acerca de la gestión de la clase, etc. de secuencias de actividades para la enseñanza del cálculo mental y análisis de algunos de los procedimientos que frecuentemente despliegan los alumnos de 4º/5º y 6º/7º respectivamente. Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 1 Exis te una ver sión di gi - tal en no sai res. go b.a r/e du ca ción 5
7 En ambos documentos se proponen actividades que involucran conocimientos que han sido objeto de construcción en años precedentes o en ese mismo año a través de situaciones que han permitido darles un sentido, con la intención de retomarlos en un contexto exclusivamente numérico para analizar algunas relaciones internas e identificar aspectos de esos cálculos y relaciones. Por esa misma razón encontrarán en el documento de Matemática. Cálculo mental con números racionales referencias a los documentos Matemática. Fracciones y números decimales ya mencionados. Serie Plan Plurianual Reedición 2010: Serie Aportes para la enseñanza Serie Plan Plurianual Reedición 2010: Serie Aportes para la enseñanza 6 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
8 Índice Introducción...9 Cálculo mental y cálculo algorítmico...9 Dos clases de conocimientos en el trabajo sobre cálculo mental...11 La actividad matemática en el aula a propósito del cálculo mental...14 La gestión docente en las clases de cálculo mental...15 El uso de la calculadora...16 Acerca de este documento...17 Adición y sustracción...19 ACTIVIDAD 1. El juego de adivinar el número...19 ACTIVIDAD 2. Revisión y ampliación del repertorio aditivo...21 ACTIVIDAD 3. Sumas y restas con algunos números particulares...23 ACTIVIDAD 4. Estimaciones...25 ACTIVIDAD 5. Sumas y restas con múltiplos de ACTIVIDAD 6. Cálculo de distancias entre números...28 ACTIVIDAD 7. Dobles y mitades...30 Multiplicación y división...31 ACTIVIDAD 1. Tabla de multiplicaciones...31 ACTIVIDAD 2. La tabla pitagórica para resolver divisiones...35 ACTIVIDAD 3. Multiplicación y división por 10, 100 y y por otros números terminados en ceros...36 ACTIVIDAD 4. Multiplicación por algunos números particulares (19; 21; etc.), a partir de la multiplicación por números redondos...38 ACTIVIDAD 5. Resolver cálculos a partir de uno conocido...40 ACTIVIDAD 6. Estimación de cocientes...45 Sistema de numeración...49 ACTIVIDAD 1. Pagando con monedas de $1 y billetes de $10 y $ ACTIVIDAD 2. Armando números con multiplicaciones por 10, 100 y ACTIVIDAD 3. El sistema de numeración y la calculadora. Primera parte...52 ACTIVIDAD 4. Descomposiciones de números que involucran la decena de mil...54 ACTIVIDAD 5. El sistema de numeración y la multiplicación y división por 10, 100 y ACTIVIDAD 6. El sistema de numeración y la calculadora. Segunda parte...60
9 Introducción Este documento, junto con Cálculo mental con números racionales, in te gra la serie Aportes para la enseñanza. A tra vés de es te ma te rial para el Segundo ciclo se pro po ne dis cu tir ba jo qué con di cio nes di dác ti cas el cál cu lo men tal pue de cons ti tuir se en una prác ti ca re le van te pa ra la cons truc ción del sen ti do de los nú - me ros y las ope ra cio nes. Se bus ca, ade más, com par tir con los do cen tes al gu nas se cuen cias de tra ba jo po si bles, en tre las mu chas que se po drían di se ñar. CÁL CU LO MEN TAL Y CÁL CU LO AL GO RÍT MI CO Des de la pers pec ti va pro pues ta en el Diseño Curricular, 2 los pro ce di mien tos de cál cu lo men tal se de fi nen por con tras te con aque llos que res pon den a cál cu los al go rit mi za dos. Es tos úl ti mos con sis ten en una se rie de re glas apli ca bles en un or den de ter mi na do, siem pre del mis mo mo do, in de pen dien te men te de los da tos que ga ran ti zan al can zar el re sul ta do bus ca do en un nú me ro fi ni to de pa sos. Las cuen tas con ven cio na les que se uti li zan pa ra re sol ver las ope ra cio nes cons ti tu yen pro ce di mien tos de es te ti po: en ellas se re cu rre a una úni ca téc ni ca pa ra una ope ra ción da da, siem pre la mis ma, in de pen dien te men te de cuá les sean los nú - me ros en jue go. El cál cu lo men tal, en cam bio, ha ce re fe ren cia al con jun to de pro ce di mien tos que, ana li zan do los da tos por tra tar, se ar ti cu lan sin re cu rrir a un al go rit mo prees - ta ble ci do, pa ra ob te ner re sul ta dos exac tos o apro xi ma dos. 3 Es de cir, se ca rac te - ri za por la pre sen cia de una di ver si dad de téc ni cas que se adap tan a los nú me ros en jue go y a los co no ci mien tos (o pre fe ren cias) del su je to que las des plie ga. Exa mi ne mos el cál cu lo men tal en re la ción con el cál cu lo al go rít mi co a par - tir de un par de ejem plos. a) Cuán to hay que res tar le a pa ra ob te ner 755? Es ta pre gun ta po dría res pon der se ape lan do al al go rit mo de la res ta: A tra vés de es tra te gias de cál cu lo men tal, po dría re sol ver se de di ver sas ma - ne ras. Al gu nas po si bi li da des son: 2 G.C.B.A., Se cre ta ría de Edu ca ción, Di rec ción Ge - ne ral de Pla nea mien to, Di rec ción de Cu rrí cu la, Diseño Curricular para la Escue la Pri ma ria. Se gun do ciclo de la Escuela Primaria/Educación General Básica, 2004, to mos 1 y 2. 3 Pa rra, Ce ci lia. El cál cu lo men tal en la es cue la pri - ma ria, en C. Pa rra e I. Saiz (comps.), Didáctica de la matemática. Aportes y refle xio nes, Bue nos Ai res, Pai dós, Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 9
10 Cal cu lar el com ple men to de 755 a de di fe ren tes mo dos. Por ejem plo, apo yán do se en nú me ros re don dos: = = = = 245 Ir res tan do su ce si vos nú me ros a has ta al can zar 755: = = = 245 b) La mul ti pli ca ción 4 x 53 po dría re sol ver se me dian te el al go rit mo con ven - cio nal de la mul ti pli ca ción, o tam bién a tra vés de pro ce di mien tos de cál cu lo men tal. Por ejem plo: 4 x x 3 = = 206. O bien co mo el do ble de 53 es 106, 4 x 53 es el do ble de 106, 212, et cé te ra. Aquí pue de ob ser var se que la dis tin ción en tre cál cu lo al go rít mi co y cál cu lo men tal no re si de en que el pri me ro sea es cri to y el se gun do no se apo ye en el uso de lá piz y pa pel. Co mo men cio na mos an te rior men te, el cál cu lo al go rít mi co uti li - za siem pre la mis ma téc ni ca pa ra una ope ra ción da da, cual quie ra sean los nú - me ros. En cam bio, cuan do se pro po ne un tra ba jo de cál cu lo men tal no se es pe - ra una úni ca ma ne ra de pro ce der. La idea es ins ta lar una prác ti ca que re quie ra di fe ren tes es tra te gias ba sa das en pro pie da des de la nu me ra ción de ci mal y de las ope ra cio nes. Al des ple gar es tas es tra te gias en una si tua ción es pe cí fi ca, se fa vo - re ce el aná li sis de las re la cio nes in vo lu cra das en las mis mas. Los al go rit mos con ven cio na les pa ra las ope ra cio nes tam bién ape lan a las pro pie da des de los nú me ros y de las ope ra cio nes, só lo que, una vez au to ma ti za - dos los me ca nis mos, co mo és tos son siem pre igua les, es po si ble re sol ver los sin te ner en cuen ta el sen ti do de las des com po si cio nes de los nú me ros y de las ope - ra cio nes par cia les que se rea li zan. En la res ta de nues tro ejem plo, cuan do se pi - de uno al nú me ro del or den si guien te, no hay ne ce si dad de pen sar que se es tá des com po nien do en En el cál cu lo men tal, los nú me ros se tra tan de ma ne ra glo bal sin con si de rar sus ci fras ais la das, co mo ocu rre en los al go rit mos con ven cio na les. Es to, su ma do al he cho de te ner que po ner en jue go es tra te gias es pe cí fi cas en fun ción de los nú me ros con los que se tra ba ja, ha bi li ta un ma yor con trol de las pro pie da des que ha cen vá li da la es tra te gia que se des plie ga. Por otro la do, co mo se ve rá a lo lar go de es te do cu men to, pa ra que los alum nos pro duz can es tra te gias de cál cu lo men tal ca da vez más ela bo ra das, ten - drán que apo yar se tan to en el co no ci mien to de las pro pie da des de las ope ra cio - nes y del sis te ma de nu me ra ción co mo en los re sul ta dos que de be rán te ner dis - po ni bles en su me mo ria. El he cho de que el cál cu lo men tal se dis tin ga del cál cu lo al go rít mi co no su - po ne que se opon ga a él; to do lo con tra rio, los co no ci mien tos cons trui dos acer - 10 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
11 ca de uno y otro ti po de cál cu lo se ali men tan re cí pro ca men te. Es fi na li dad de la es cue la que los alum nos se apro pien de los al go rit mos con ven cio na les pa ra re - sol ver las ope ra cio nes. To do cál cu lo al go rít mi co con tem pla mo men tos de ape la - ción al cál cu lo men tal y se en ri que ce con sus apor tes, tan to pa ra an ti ci par y con - tro lar la mag ni tud del re sul ta do co mo pa ra com pren der el sen ti do de los pa sos del al go rit mo con ven cio nal. Los al go rit mos con ven cio na les cons ti tu yen téc ni cas de cál cu lo va lio sas por la eco no mía que pro cu ran y por el ali vio que su po ne la au to ma ti za ción de cier tos me ca nis mos. La ri que za del tra ba jo so bre el cál cu lo men tal y al go rít - mi co in clu ye el he cho de que los alum nos tie nen que de ci dir la es tra te gia más con ve nien te pa ra ca da si tua ción en par ti cu lar. Pen sa mos que el cál cu lo men tal abo na la cons truc ción de re la cio nes que per mi ten un apren di za je de los al go rit mos con ven cio na les ba sa do en la com pren sión de sus pa sos, en un con trol de los re sul ta dos in ter me dios y fi na les que se ob tie nen. Al mis mo tiem po, la fi na li dad de trans mi tir los al go rit mos vin cu la dos con las ope ra cio - nes se in ser ta en el mar co de la trans mi sión de un am plio aba ni co de re cur sos de cál cu lo y de su ade cua ción con las si tua cio nes que en fren tan. La prác ti ca de cál cu lo men tal, ba jo cier tas con di cio nes, ha ce evo lu cio nar los pro ce di mien - tos de cál cu lo de los alum nos y en ri que ce las con cep tua li za cio nes nu mé ri cas de los ni ños. 4 Es ne ce sa rio re sal tar que las ac ti vi da des que se in clu yen en es te ma te rial se pro po nen en un con tex to ex clu si va men te nu mé ri co. Se es tá su po nien do, en - ton ces, que los alum nos ya han abor da do es tos con te ni dos en un tra ba jo ab - so lu ta men te ne ce sa rio con si tua cio nes que ape len a otros con tex tos de re fe - ren cia, co mo pro ble mas de re par to pa ra el tra ta mien to de la di vi sión. Nos ocu - pa mos aquí de un tra ba jo pos te rior di ri gi do a en ri que cer un sen ti do de lo nu - mé ri co, pa ra lo cual tam bién es ne ce sa ria una des con tex tua li za ción de los co - no ci mien tos. DOS CLA SES DE CO NO CI MIEN TOSENELTRA BA JO SO BRE CÁL CU LO MEN TAL En el tra ba jo con cál cu lo men tal es po si ble dis tin guir dos as pec tos: por un la do, la sis te ma ti za ción de un con jun to de re sul ta dos y, por el otro, la cons truc ción de pro ce di mien tos per so na les. Vea mos en qué con sis te ca da uno de ellos: a) La sis te ma ti za ción de un con jun to de re sul ta dos per mi te la cons truc ción pro - gre si va de un re per to rio de su mas, res tas, mul ti pli ca cio nes y di vi sio nes dis - po ni bles en la me mo ria o fá cil men te re cons trui bles a par tir de aque llos me - mo ri za dos. Así, se es pe ra que los alum nos pue dan apli car sus co no ci mien tos sobre las su mas de una ci fra (por ejem plo, 4 + 5) pa ra co no cer otras con nú - me ros de dos o más ci fras que las in vo lu cren (por ejem plo, ) o tam - bién res tas aso cia das a ellas (por ejem plo, y 90 40). Se tra ta, en po cas pa la bras, de co no cer y uti li zar re sul ta dos me mo ri za dos y pro ce di mien - tos au to ma ti za dos so bre la ba se de la com pren sión de las re la cio nes in vo lu - cra das y del con trol con se cuen te de las ac cio nes. Es te con jun to de co no ci - mien tos a en se ñar re fie re a re sul ta dos de ba se, co mo las ta blas de mul ti pli - ca ción, que se uti li zan tan to en cál cu los men ta les co mo en los al go rit mos con ven cio na les. 4 Bu tlen, De nis y Mo ni que Pe zard. Cal cul men tal et re so lu tion de pro blè mes mul ti pli ca tifs, une ex pe ri - men ta tion du CP au CM2. Recherches en didactique des mat hé ma ti ques, Vol. 12, N o 2.3, Gre no ble, La Pen sée Sau va ge, pp , Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 11
12 Tal re per to rio de cál cu los de be ría ir in clu yen do a lo lar go del pri mer y se gun - do ci clo en tre otras cues tio nes: Su mas de nú me ros de una ci fra (por ejem plo, 5 + 5; 5 + 6) y res tas aso cia - das a di chas su mas (11 5; 11 6, et cé te ra). Iden ti fi ca ción de des com po si cio nes adi ti vas del nú me ro 10 y de las res tas aso cia das a ellas; iden ti fi ca ción de las des com po si cio nes adi ti vas del nú me - ro 100 en nú me ros re don dos y de las res tas aso cia das a ellas. Su mas de un nú me ro re don do de dos ci fras más un nú me ro de una ci fra, por ejem plo, ; res tas vin cu la das a di chas su mas, por ejem plo, Sumas de un múmero "redondo" de tres cifras o más y un número que "complete los ceros": por ejemplo, ; ; ; ; ; etc.; restas vinculadas a dichas sumas. Su ma o res ta de 10, 100 ó a un nú me ro cual quie ra. Su ma o res ta de un nú me ro re don do a un nú me ro cual quie ra. Otras des com po si cio nes adi ti vas de los nú me ros vin cu la das con la or ga ni za - ción del sis te ma de nu me ra ción, por ejem plo, ; ; , etc., res tas vin cu la das a ellas, por ejem plo, ; , et cé te ra. Cál cu los de com ple men tos de un nú me ro cual quie ra res pec to de un nú me ro re don do a tra vés del aná li sis de las es cri tu ras nu mé ri cas, por ejem plo, cuán to es ne ce sa rio su mar le a 578 pa ra ob te ner 600. Re sul ta dos de la ta bla pi ta gó ri ca pa ra la mul ti pli ca ción y el uso de esos co - no ci mien tos pa ra co no cer el co cien te y el res to de di vi den dos me no res que 100 y di vi so res de una ci fra. Mul ti pli ca ción y di vi sión entera por 10, 100, 1.000, et cé te ra. Des com po si cio nes mul ti pli ca ti vas de las es cri tu ras nu mé ri cas y cál cu los aso - cia dos a ellas, por ejem plo, 3 x x x ; et cé te ra. Ex ten sión de los co no ci mien tos so bre la ta bla pi ta gó ri ca a mul ti pli ca cio nes con nú me ros re don dos de más de una ci fra, por ejem plo. 40 x 30; 200 x 500; x 60; et cé te ra. Ex ten sión de los co no ci mien tos so bre las di vi sio nes a par tir de los re sul ta - dos de la ta bla pi ta gó ri ca y de la di vi sión por 10, 100, 1.000, etc., pa ra re - sol ver otras di vi sio nes que in vo lu cran nú me ros re don dos co mo di vi den dos y di vi so res. Iden ti fi ca ción de múl ti plos y di vi so res. En sín te sis, es tam bién un ob je ti vo del cál cu lo men tal que los alum nos me - mo ri cen cier tos re sul ta dos o pue dan re cu pe rar los fá cil men te. In sis ti mos en que es ta me mo ri za ción de be apo yar se en la cons truc ción e iden ti fi ca ción pre via de re la cio nes que te jan una red des de la cual sos te ner la y dar le sen ti do. 5 Ins ti tut Na tio nal de Re - cher che Pé da go gi que (ER - MEL). Apprentissages numériques et résolution de pro blè mes, Pa rís, Ha tier (2001). b) La cons truc ción de pro ce di mien tos per so na les que per mi ten dar res pues ta a una si tua ción ha si do de no mi na da cál cu lo pen sa do o re fle xio na do. 5 Al no tra tar se de pro ce sos au to ma ti za dos, con sis ten en el des plie gue de di fe - ren tes ca mi nos a par tir de de ci sio nes que los alum nos van to man do du ran - te la re so lu ción. Ta les de ci sio nes se vin cu lan con la com pren sión de la ta - rea, con di fe ren tes re la cio nes que se es ta ble cen y con el con trol de lo que su ce de du ran te la re so lu ción. 12 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
13 El cál cu lo men tal per mi te, a su vez, un tra ba jo so bre los nú me ros de ma - ne ra des con tex tua li za da ya que fa mi lia ri za a los alum nos con una ac ti vi dad ma te má ti ca que tam bién en cuen tra sen ti do en sí mis ma: ha llar un pro ce di - mien to, con fron tar lo con otros y ana li zar su va li dez. Po ne a los ni ños en si tua - ción de vér se las con los nú me ros ; ex pre sar un mis mo nú me ro de di fe ren tes ma ne ras, que guar dan re la ción con la nu me ra ción de ci mal. Por ejem plo, es ta - ble cer cuá les de las si guien tes des com po si cio nes son equi va len tes al nú me ro re quie re ana li zar el sig ni fi ca do de ca da una de las ci fras en fun ción de su po si ción, y de las re la cio nes que guar da con las po si cio nes con ti guas y no con ti guas: 5 x x x x x x x x Co mo se ña la mos, el cál cu lo men tal es tam bién una bue na he rra mien ta pa ra ha cer fun cio nar las pro pie da des de las ope ra cio nes, pa ra ana li zar su do mi nio de va li dez y pa ra iden ti fi car las. Por ejem plo: 9 x 8, pue de pen sar se a par tir del doble que 9 x 4: 9 x 8 = 9 x 4 x 2 = 36 x 2 = 72; 9 x 8 = 9 x x 3 = = 72; 9 x 8 = 5 x x 8 = = 72; 9 x 8 = 10 x 8 8 = 80 8 = 72; 9 x 10 9 x 2 = = 72; et cé te ra. Es tas re la cio nes se ba san en las pro pie da des aso cia ti va y dis tri bu ti va de la su ma y de la res ta res pec to de la mul ti pli ca ción. De es te mo do, la en se ñan za del cál cu lo men tal tam bién ofre ce a los alum nos la opor tu ni dad de to mar con cien cia de que al gu nos cál cu los son más sen ci llos que otros, y de que es po si ble va ler se de ellos pa ra re sol ver otros más com ple jos. Por ejem plo, 24 x 12 pue de pen sar se co mo 24 x x 2. Se ape la, de es te mo - do, a pro pie da des de las ope ra cio nes pa ra ha cer las in ter ve nir en la re so lu ción de ver da de ros pro ble mas: en es te ca so, pa ra fa ci li tar un cál cu lo; en otros, pa ra de - mos trar la va li dez de un pro ce di mien to. El aná li sis de la va li dez de las re glas apli ca das en ca da ca so, re sul ta rá de un tra ba jo de re fle xión so bre las re so lu cio nes que el do cen te ges tio ne con to da la cla se. Den tro de las es tra te gias de cál cu lo men tal, tam bién se es pe ra que los alum - nos de sa rro llen, ba sán do se en los cál cu los más sen ci llos, es tra te gias de es ti ma ción y de cál cu lo apro xi ma do. Por ejem plo, es po si ble an ti ci par la can ti dad de ci fras que ten drá el co cien te de : 37, a par tir de en cua drar lo en mul ti pli ca cio nes por Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 13
14 po ten cias de diez: el co cien te bus ca do es ma yor que 100 (por que 37 x 100 = 3.700) y me nor que (por que 37 x = ), es de cir que el re sul - ta do ten drá tres ci fras. Tam bién es po si ble an ti ci par que ese co cien te es ta rá más cer ca de 100 que de (por que se apro xi ma más a que a ). Pa ra al gu nas si tua cio nes, la bús que da de un re sul ta do apro xi ma do es su - fi cien te; pa ra otras, se re quie re ha llar un re sul ta do exac to. Pa ra es tas úl ti mas, el cál cu lo apro xi ma do cons ti tu ye una po de ro sa he rra mien ta de an ti ci pa ción y de con trol. Pa ra que los alum nos co mien cen a po ner en jue go esa op ción, es ne ce sa rio aun que no su fi cien te que el do cen te los orien te en esa di rec ción. En sín te sis, el cál cu lo men tal in clu yen do la cons truc ción de pro ce di - mien tos más per so na les y de re per to rios de re sul ta dos me mo ri za dos pro po - ne una oca sión pri vi le gia da de ha cer fun cio nar las pro pie da des de las ope ra - cio nes en re la ción con las ca rac te rís ti cas del sis te ma de nu me ra ción po si cio - nal y de ci mal. Per mi te, por esa mis ma ra zón, una pro fun di za ción en los co no - ci mien tos so bre las ope ra cio nes y so bre nues tro sis te ma de nu me ra ción. LA AC TI VI DAD MA TE MÁ TI CA EN EL AU LAAPRO PÓ SI TO DEL CÁL CU LO MEN TAL Las de ci sio nes a car go del alum no que re suel ve, los aná li sis que pue de ha cer mien tras tra ba ja y las dis cu sio nes acer ca de la va li dez de sus ra zo na mien tos con sus pa res y con el do cen te van te jien do una red de co no ci mien tos que fun da men tan el fun cio na mien to de los nú me ros y de las ope ra cio nes. Abrir el jue go de la cla se a la bús que da de es tra te gias, a su ex pli ci ta ción y con fron - ta ción, a su cir cu la ción y di fu sión en mo men tos de in ter cam bio per mi te a los alum nos ayu da dos por el do cen te iden ti fi car los co no ci mien tos a re te ner re la ti vos a los nú me ros y a los cál cu los. Al mis mo tiem po, los ni ños par ti ci pan en la cons truc ción de cri te rios de va li da ción de los pro ce di mien tos ela bo ra dos (có mo es po si ble es tar se gu ro de que una es tra te gia es co rrec ta, có mo mos - trar el error de un pro ce di mien to) y de cri te rios de elec ción de pro ce di mien - tos ade cua dos en fun ción de la ta rea. De es te mo do, a tra vés de es te ti po de prác ti ca se es tá co mu ni can do a la cla se que se es pe ra que las pro duc cio nes sean va li da das y que pue de ha ber va rios mo dos de ha cer lo, que hay ra zo nes que ha cen a la co rrec ción o in co rrec ción de las re so lu cio nes, que hay cri te rios pa ra la se lec ción de for mas de re sol ver más o me nos adap ta das en fun ción de las si tua cio nes par ti cu la res y que no se tra ta de he chos aza ro sos. Es tos as pec - tos po drán ser ob je to de re fle xión en la cla se pa ra que los alum nos pue dan iden ti fi car los. Es de cir, del mis mo mo do que pa ra to do el tra ba jo ma te má ti co, se apun - ta a po si cio nar a los alum nos des de cier ta ac ti tud in te lec tual fren te a los pro - ble mas pa ra que se ani men a abor dar la ta rea con los co no ci mien tos dis po ni - bles, a ex plo rar, bus car por di fe ren tes vías, equi vo car se, co mu ni car a otros, ana li zar la va li dez de pro ce di mien tos, etc. A ve ces se cree que es te po si cio na - mien to de pen de de ap ti tu des o vo lun ta des par ti cu la res de los ni ños; des de nues tra pers pec ti va, cons ti tu ye un apren di za je que se lo gra con un ti po de prác ti ca sos te ni da en el tiem po que depende decisivamente de la enseñanza. 14 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
15 LA GES TIÓN DO CEN TE EN LAS CLA SESDECÁL CU LO MEN TAL La en se ñan za del cál cu lo se en mar ca, pues, en el mis mo cli ma de tra ba jo ma - te má ti co que que re mos ins ta lar en las cla ses: bús que das, re fle xio nes, dis cu sio - nes, ar gu men ta cio nes, pro duc ción y aná li sis de es cri tu ras ma te má ti cas e iden ti - fi ca ción de nue vos co no ci mien tos. En es te sen ti do, la in ter ven ción del do cen te es fun da men tal: ha cer ex pli ci tar y com pa rar los pro ce di mien tos pa ra lle var a los alum nos a ana li zar los y ex pli car los co la bo ran do él mis mo en es tas ta reas, cons ti tu yen con di cio nes esen cia les pa ra pro mo ver avan ces en los co no ci mien tos pro du ci dos en es te es pa cio. El des plie gue del tra ba jo que se pro po ne no pue de que dar re le ga do a cla ses ais la das, si no que es ne ce sa rio or ga ni zar una pro gre sión de apren di za jes y pla ni - fi car una se cuen cia de en se ñan za, en la cual ca da nue vo co no ci mien to pue da apo yar se en aque llo que los alum nos ya co no cen, al mis mo tiem po que in tro du - ce no ve da des, sien do por su par te ba se pa ra nue vos apren di za jes. Es to re quie re de un pro yec to de en se ñan za cu ya glo ba li dad el do cen te pue da con ce bir. Un pro ce so de es ta na tu ra le za re quie re con si de rar tiem pos de ad qui si ción a lar go pla zo, con se cuen cias que in vo lu cren una va rie dad de si tua cio nes que se ocu pen de di fe ren tes as pec tos de los con cep tos y, a la vez, re to men cues tio nes tra ta das en su ce si vas vuel tas. Si bien los avan ces en los re cur sos de cál cu lo men tal re sul tan be ne fi cio sos pa ra to dos, lo son, en par ti cu lar, pa ra aque llos alum nos que pre sen tan ma yor gra do de di fi cul tad por que les per mi ten ac ce der a es tra te gias que, a ve ces, otros ni ños ela bo ran por su cuen ta, es tra te gias que los po si cio nan me jor an te las si - tua cio nes, ya sea por que les abren di fe ren tes po si bi li da des de so lu ción o por que les per mi ten rea li zar an ti ci pa cio nes y un con trol so bre las so lu cio nes más con - ven cio na les. Pue de re sul tar pa ra do jal que el cál cu lo men tal be ne fi cie más a quie nes tie - nen ma yor di fi cul tad pa ra ac ce der a él. En efec to, a es tos alum nos les sue le in - su mir mu cho tiem po la apro pia ción de es tra te gias que a otros que las ad quie ren rá pi da men te. Sin em bar go, co mo son es tos mis mos alum nos los que con fre cuen - cia no re cuer dan las téc ni cas ( Có mo se ha cía? ) o tie nen ba jo con trol so bre ellas (si se ol vi dan un pa so o co men ten un error, no sa ben có mo con ti nuar o co - rre gir), son par ti cu lar men te re le van tes las in ter ven cio nes del do cen te di ri gi das a la di fu sión, iden ti fi ca ción y prác ti ca de cier tos pro ce di mien tos de cál cu lo men - tal que les per mi tan, a los alum nos que se pre sen tan co mo más flo jos, cre cer en do mi nio y ga nar en con fian za. Có mo ges tio nar es ta di ver si dad? No hay evi den te men te una úni ca po si bi li - dad. La or ga ni za ción de las cla ses de be rá pla ni fi car se de acuer do con las in ten cio - nes del do cen te fren te a ca da si tua ción en par ti cu lar. A ve ces, con vie ne el tra ba jo en pa re jas pa ra pro mo ver in ter cam bios en el mo men to de la re so lu ción; en otras oca sio nes, la ta rea in di vi dual, pa ra que ca da ni ño ten ga la opor tu ni dad de in te rac - tuar so lo fren te al pro ble ma, y otras, con to da la cla se. Cuan do se tra ba ja co lec ti va men te, sue le ocu rrir que los alum nos que más re - cur sos tie nen dan res pues tas rá pi da men te sin de jar tiem po su fi cien te pa ra que al gu nos de sus com pa ñe ros pue dan pen sar. El cál cu lo pen sa do no se iden ti fi ca con la ve lo ci dad. 6 Ins ta lar un tra ba jo so bre cál cu lo men tal de man da con ce bir la or ga ni za ción de la cla se tan to co mo el tra ba jo so bre otros asun tos ma te má ti - cos. For ma par te de la con sig na plan tear có mo, quié nes, cuán do pue den in ter - ve nir. Al gu nas ve ces tra ba ja rán con la mis ma si tua ción en for ma in di vi dual, en 6 Even tual men te, la ve lo - ci dad o la com pe ten cia pue de ser in clui da cuan do fa vo re ce el pro pó si to de la ac ti vi dad. Por ejem plo, cuan do se bus ca que los alum nos to men con cien cia de qué re sul ta dos tie nen dis po ni bles en la me mo ria. Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 15
16 pa re ja, en pe que ños gru pos, etc. y pre sen ta rán su tra ba jo de sig na dos por el do - cen te, o al azar, o por elec ción den tro del gru po. Otras ve ces, los alum nos po - drán tra ba jar en pe que ños gru pos an te dis tin tas si tua cio nes mien tras el do cen - te se de di ca es pe cial men te a aque llos que más lo ne ce si tan. Es de cir, en al gu - nas oca sio nes, po drán ges tar se es pa cios di fe ren cia dos que po si bi li ten la re vi sión de co no ci mien tos (re per to rios, pro ce di mien tos, re glas) de ma ne ra más sis te má - ti ca pa ra al gu nos gru pos. Cuan do se bus ca que los alum nos ex plo ren pro ce di mien tos de re so lu ción, las ano ta cio nes del pro ce so son esen cia les por va rios mo ti vos. Por un la do, cons ti tu yen un so por te pa ra pen sar la so lu ción, tan to pa ra re cor dar pa sos y re - sul ta dos in ter me dios co mo pa ra re fle xio nar so bre el pro ce di mien to que se es tá si guien do: la es cri tu ra ex te rio ri za al gu nos as pec tos de ese co no ci mien to y lo con vier te, de ese mo do, en ob je to de aná li sis. Por otro la do, di chas ano ta cio nes re sul tan in dis pen sa bles cuan do los ni ños de ben ex pli car lo que hi cie ron an te la cla se. Si se asu me que la fa se co lec ti va es par te del tra ba jo de pro duc ción ma te - má ti ca, hay dos as pec tos del rol do cen te que co bran re le van cia. En pri mer lu - gar, có mo iden ti fi car qué cues tio nes me re cen dis cu tir se y, en se gun do, en qué si tua cio nes pue de re sul tar in te re san te que los alum nos con fron ten sus pun tos de vis ta. Es in te re san te te ner en cuen ta que, si las res pues tas que los alum nos ofre - cen pro vie nen de ideas si mi la res en tre sí, po si ble men te no apor te de ma sia do a la cla se alen tar que se co men ten to das en el au la. Si las es tra te gias no com par - ten la mis ma idea, es im por tan te sos te ner el de ba te pre ci san do qué cues tio nes se es tán dis cu tien do. Se ña la mos y que re mos vol ver a re sal tar la ne ce si dad de iden ti fi car los nue vos co no ci mien tos que se van ela bo ran do du ran te el de sa rro llo de las ac ti - vi da des de cál cu lo men tal, y de las dis cu sio nes ge ne ra das a par tir de ellas. Es - to es, no bas ta con que se ex pli ci ten y va li den los pro ce di mien tos y las re glas es ta ble ci das, si no que, ade más, re sul ta ne ce sa rio que aque llos que tie nen un al - can ce más ge ne ral, sean re co no ci dos y nom bra dos por el do cen te y se de sa rro - lle una prác ti ca en tor no a ellos que per mi ta cier ta au to ma ti za ción. Es to, a ve - ces, pue de re sul tar di fí cil: qué po ner en co mún acer ca de pro ce di mien tos ajus - ta dos a si tua cio nes par ti cu la res?, cuá les son los as pec tos ge ne ra li za bles de di - chos pro ce di mien tos?, et cé te ra. EL USO DE LA CAL CU LA DO RA La in clu sión de la cal cu la do ra en el tra ba jo ma te má ti co de la es cue la pri ma ria re - sul ta esen cial por di ver sos mo ti vos. Por un la do, co mo se ha con ver ti do en una he - rra mien ta de cál cu lo muy ex ten di da en la so cie dad lle gan do in clu so a mo di fi car los há bi tos de cál cu lo, sos te ne mos que la for ma ción ma te má ti ca de los alum nos de be in cluir el apren der a de ci dir cuán do uti li zar la y, pa ra ello, su uso, en tér mi nos ge ne ra les, de be es tar ple na men te au to ri za do....la vie ja pre gun ta Tie nen que usar los alum nos cal cu la do ra en cla se? no tie ne ya sen ti do, da do que las cal cu la do ras exis ten, es tán ahí, en las ma nos de los alum nos, y es evi den te que tie nen una re la ción ín ti - ma con el mun do del cál cu lo arit mé ti co y con las ma te má ti cas en ge ne - 16 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
17 ral. La pre gun ta de be ría plan tear se del si guien te mo do: Có mo hay que usar la cal cu la do ra en cla se de ma te má ti cas pa ra que se con vier ta en un po de ro so au xi liar di dác ti co y pa ra evi tar los pe li gros de su uti li za ción irre fle xi va?. 7 Mu chas ve ces, los do cen tes ad mi ten el uso de la cal cu la do ra pa ra que sus alum nos ve ri fi quen cál cu los re suel tos de otro mo do; otras, lo ad mi ten pa ra ha - llar re sul ta dos y así ali viar la ta rea del cál cu lo. Es tos son los usos más ha bi tua - les cuan do se au to ri za el em pleo de es te re cur so. Sin em bar go, ha brá mo men tos en los que, da do el asun to es pe cí fi co que se es té tra ba jan do, el maes tro de ci di - rá no ha bi li tar lo. Que re mos re sal tar otro uso po si ble de la cal cu la do ra, me nos ex ten di do y, sin em bar go, su ma men te re le van te. Con fre cuen cia, las si tua cio nes plan tea das re - quie ren usos par ti cu la res de es te re cur so que no ne ce sa ria men te es tán en fun - ción de ob te ner un re sul ta do. Es así co mo, en cier tas si tua cio nes, la cal cu la do ra se rá una he rra mien ta pa ra ex plo rar pro pie da des, pa ra en con trar una re gu la ri dad, pa ra va li dar un pro ce di mien to; en otras, su be ne fi cio ra di ca rá en la po si bi li dad de cons ta tar de ma ne ra in me dia ta e in de pen dien te del do cen te los re sul ta dos de las an ti ci pa cio nes que se le han so li ci ta do al alum no. Por ejem plo, ha llar cuál se ría el res to de una di vi sión rea li za da con la cal cu la do ra que ha ya arro ja do un co cien te con co ma, si se tra ta ra de una di vi sión en te ra, re quie re po ner en ac ción una se rie de re la cio nes en tre el co cien te, el di vi sor, el di vi den do y el res to; es de - cir, cons ti tu ye un pun to de par ti da pa ra lle var ade lan te un aná li sis so bre las re - la cio nes in ter nas en tre los di fe ren tes nú me ros que in ter vie nen en es ta ope ra ción. En po cas pa la bras, la cal cu la do ra tam bién es un so por te so bre el cual pro po ner pro ble mas y una di ná mi ca de tra ba jo muy fruc tí fe ros, des de el pun to de vis ta de los co no ci mien tos que po ne en es ce na. La re fle xión so bre las ac ti vi da des que se rea li cen per mi ti rá ir cons tru yen do tan to una ac ti tud de con trol so bre la uti li za ción de la cal cu la do ra co mo la ela - bo ra ción de co no ci mien tos que per mi tan ha cer efec ti vo es te con trol. 8 Por esa ra - zón, el tra ba jo con la cal cu la do ra no de gra da ni reem pla za el tra ta mien to de los cál cu los con ven cio na les con lá piz y pa pel u otros cál cu los men ta les, si no que lo en ri que ce. ACER CA DE ES TE DO CU MEN TO Es te do cu men to pre sen ta se cuen cias de ac ti vi da des pa ra la en se ñan za del cál cu - lo men tal en re la ción con los nú me ros na tu ra les re fe ri das a los si guien tes ejes de con te ni dos: adi ción y sus trac ción, mul ti pli ca ción y di vi sión, sis te ma de nu me ra ción. Den tro de ca da uno de ellos, las ac ti vi da des se or ga ni zan se gún una pro - gre sión de di fi cul ta des. Ope ra cio nes y sis te ma de nu me ra ción, tie nen fuer tes re la cio nes y el avan ce en uno de es tos ejes se vin cu la con el avan ce en el otro. Sin té ti ca men te: no se pro po ne ago tar uno pa ra pa sar al otro. Por eso, es po si ble en con trar, avan za do el tra ba jo en uno de los ca pí tu los, pro ble mas más com ple - 7 Udi na i Abe lló, Fre de ric. Arit mé ti ca y cal cu la do - ras, en Matemáticas: cultura y aprendizaje, Ma drid, Sín te sis, Diseño Curricular para la Escuela Primaria, Segundo ciclo de la Escuela Primaria/Educación General Bási ca, op. cit. Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 17
18 jos que los que se pro po nen ini cial men te en el si guien te. El do cen te de ci di rá, al ela bo rar su pro yec to de en se ñan za, en qué or den ir abor dan do los di fe ren tes ejes, si ir pro po nien do un tra ba jo en pa ra le lo so bre más de uno de ellos; si ini ciar al - gu nas ac ti vi da des so bre uno, abor dar otro, an tes de con ti nuar con el pri me ro, etc. Por es te mo ti vo, se se ña la la con ve nien cia de ana li zar las re la cio nes po si bles e in ter cam biar con los co le gas so bre po si bles pro gre sio nes. En es te ma te rial, se plan tean ac ti vi da des que in vo lu cran co no ci mien tos que ha brán si do ob je to de cons truc ción en años pre ce den tes o du ran te es te mis mo año a tra vés de si tua cio nes que han per mi ti do dar les un sen ti do, con la in ten - ción de re to mar los pa ra ana li zar al gu nas re la cio nes in ter nas 9 e iden ti fi car as pec - tos de esos cál cu los y re la cio nes. En al gu nos ca sos, en con tra rán en el do cu men to otras ve ces lo po drá pro po - ner el mis mo do cen te si tua cio nes que so li ci tan a los alum nos ela bo rar ac ti vi da - des si mi la res a las rea li za das pa ra plan tear a sus com pa ñe ros (o a chi cos de otro gra do). Es ta ta rea per mi te re vi sar lo tra ba ja do en di chas ac ti vi da des des de un po - si cio na mien to di fe ren te, lle van do a los ni ños a plan tear se nue vas cues tio nes acer - ca de las ac ti vi da des rea li za das: ana li zar qué se bus ca po ner en prác ti ca, de bien - do re sol ver los y ve ri fi car los, pre ver di fi cul ta des que pue dan te ner sus com pa ñe - ros, de sa rro llan do acla ra cio nes al res pec to, et cé te ra. Pa ra con cluir, rei te ra mos la ne ce si dad de abrir un lu gar im por tan te al cál cu - lo men tal, por que es un es pa cio de pro ble mas pri vi le gia do pa ra al can zar un co - no ci mien to fun da men ta do de los nú me ros y de las ope ra cio nes. 9 Por ejem plo, a par tir del re sul ta do de una su ma, es po si ble co no cer el re sul ta - do de dos res tas. 18 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
19 Adición y sustracción Las dos pri me ras ac ti vi da des que pro po ne mos a con ti nua ción apun tan a tra tar ex - plí ci ta men te con los alum nos la po si bi li dad de apo yar se en al gu nos re sul ta dos de su mas y res tas, co no ci dos por ellos, pa ra es ta ble cer el re sul ta do de otros cál cu los. Por ejem plo, se bus ca que pue dan uti li zar el co no ci mien to de que = 10, pa ra re sol ver men tal men te otras su mas y res tas, co mo ; ; ; ; ; ; ; et cé te ra. Se tra ta de uti li zar las re la cio nes cons trui das pa ra unos nú me ros ex ten - dién do las a otros, ha cien do pie en la or ga ni za ción de la nu me ra ción es cri ta y en las pro pie da des de la su ma y de la res ta. Se bus ca, ade más, que los alum - nos lle guen a ela bo rar, di fun dir y es ta ble cer co lec ti va men te un con jun to de re - glas que fa ci li tan los cál cu los, las es ti ma cio nes, el con trol so bre di fe ren tes re - so lu cio nes, etc. En otras pa la bras, las re glas uti li za das en es tos cál cu los se ba san en la com pren sión del fun cio na mien to del sis te ma de nu me ra ción y de las ope - ra cio nes. Pa ra dar lu gar al tra ba jo que se pro po ne, es ne ce sa rio que los alum nos ten - gan dis po ni ble cier to re per to rio adi ti vo, en el cual pue dan apo yar se. Si bien, des - de el Diseño Curricular, ese re per to rio se pro po ne co mo con te ni do del Pri mer ci - clo, só lo re cien te men te se ha co men za do a di fun dir la ne ce si dad de au to ma ti zar cier tos re sul ta dos de su mas y res tas, y de ana li zar có mo re sul ta dos co no ci dos per mi ten cal cu lar con fa ci li dad otros. Por esa ra zón, re sul ta po si ble que al gu nos alum nos del Se gun do ci clo no ten gan com ple ta men te dis po ni ble es ta prác ti ca que se irá con so li dan do a me di da que se des plie gue en las cla ses. El juego de adivinar el número 1 CON TE NI DOS n n n Cons truc ción y di fu sión de di fe ren tes es tra te gias de cál cu lo pa ra dis tin tas cla ses de pro ble mas de su ma y res ta en un mis mo con tex to. Ex ten sión de los re sul ta dos co no ci dos a nú me ros ma yo res. Re la cio nes en tre su mas y res tas. Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 19
20 EL JUEGO DE ADIVINAR EL NÚMERO En es te jue go, el do cen te plan tea adi vi nan - zas que los alum nos de be rán res pon der. Es - tas adi vi nan zas re quie ren ape lar a la re la - ción en tre su ma y res ta: da dos dos ele men - tos de una su ma, hay que de ter mi nar el ter - ce ro. Por ejem plo, una pri me ra adi vi nan za po dría ser: Pien so un nú me ro, le agre go 30, y ob ten go 70. Cuál es el nú me ro que pen sé? Es im por tan te in sis tir en que ca da alum no bus que y es cri ba su res pues ta sin de cir la en voz al ta, pa ra dar a to dos la opor tu ni dad de in ten tar una so lu ción. Pa - ra ha bi li tar a los alum nos a que bus quen y ano ten lo que van pen san do, es pre - ci so de sa car to nar un po co el uso del cua der no o la car pe ta, ex pli ci tar les que pue den ha cer allí to do lo que ellos ne ce si ten pa ra ave ri guar lo pe di do: pro bar, bo rrar, ta char, etc. Es te tra ba jo re quie re que se per mi tan cier tas des pro li ji da des en los es pa cios de di ca dos a los mo men tos de bús que da. El pro ble ma plan tea do in vo lu cra una can ti dad ini cial (40) que se trans for ma (+ 30) dan do lu gar a una can ti dad fi nal (70). En ge ne ral, los ni ños es tán más ha - bi tua dos a tra ba jar con pro ble mas en los que, da dos los su man dos, se pi de el re - sul ta do. En el enun cia do pro pues to, en cam bio, la in cóg ni ta se re fie re a la can ti - dad ini cial, es to se vuel ve tal vez más com ple jo que aque llos pro ble mas de su ma y res ta que vie nen re sol vien do des de el Pri mer ci clo. En efec to, bus car la can ti - dad ini cial lle va a uti li zar una res ta en un pro ble ma don de se agre ga ; re quie re re co no cer que, pa ra ha llar esa can ti dad, es ne ce sa rio des ha cer lo que se agre - gó. La res ta es el re cur so que per mi te des ha cer la ac ción de agre gar o, en otros tér mi nos, des ha cer la su ma. Es to no sig ni fi ca que la res ta sea el úni co mo do vá - li do de re sol ver el pro ble ma; de he cho, mu chas ve ces los alum nos prue ban su - man do bus can do el com ple men to. Se rá in te re san te vin cu lar es tos dos pro ce - di mien tos: = 70 y = 40. Des pués de un tiem po de di ca do a la bús que da de la res pues ta, es cen tral pro po ner una dis cu sión so bre los pro ce di mien tos usa dos an tes de pa sar a una se - gun da adi vi nan za, pa ra ana li zar su va li dez y pa ra ha cer los cir cu lar en la cla se. Co mo pro duc to de es tas dis cu sio nes, es in te re san te que que den ano ta dos los di - fe ren tes cál cu los que se uti li za ron en la re so lu ción. Mu chas ve ces, los alum nos re cu rren a un cál cu lo sin po der ano tar lo, el maes tro po drá es cri bir lo en ton ces por ellos. Por ejem plo: un alum no di ce: Yo fui pro ban do, iba de diez en diez su man do trein ta, hi ce diez más trein ta... así has ta cua ren ta más trein ta, que me dio se ten ta. Va le la pe na que que den esos tan teos ano ta dos: = 40; = 50; = 60; = 70; otro ni ño afir ma: Co mo le ha bía agre ga do trein ta y me dio se ten ta, a se ten ta hay que sa car le los trein ta pa ra sa ber cuán to te nía; se ten ta me nos trein ta es cuarenta = 40; o tam bién Co mo trein ta más trein ta es se sen ta, en ton ces eran diez más, cua ren ta. Es im por tan te vin cu lar en tre sí es tos di fe ren tes pro ce di mien tos: por ejem plo, si sa be mos que es 60, eso nos aho rra ir pro ban do de a 10, o de a G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
21 Tam bién se po drá es ta ble cer la re la ción en tre la su ma y la res ta, tal co mo lo ex - pli ci ta el alum no que la uti li za. En otros tér mi nos, en el es pa cio co lec ti vo se po drán va li dar los re sul ta dos re cons tru yen do el cál cu lo a par tir de los nú me ros pro pues tos por los alum nos co mo res pues ta, y que el do cen te es cri bi rá en el pi za rrón. Se in ten ta rá, tam bién, vin cu lar es tos cál cu los con los re sul ta dos que ya for man par te del re per to rio dis po ni ble en la cla se. Al gu nos ejem plos de adi vi nan zas pa ra ir plan tean do su ce si va men te: a) Pien so un nú me ro, le qui to 200 y ob ten go 700. Qué nú me ro pen sé? b) Al nú me ro 300 le agre go otro nú me ro y ob ten go Qué nú me ro le agre gué? c) Al nú me ro le res to un nú me ro y ob ten go Qué nú me ro le res té? d) Pien so un nú me ro, le agre go 100 y ob ten go 450. Qué nú me ro pen sé? e) Pien so un nú me ro, le agre go y ob ten go Qué nú me ro pen sé? f) Pien so un nú me ro, le res to 900 y ob ten go 100. Qué nú me ro pen sé? El aná li sis pos te rior a las re so lu cio nes de be cen trar se en las re la cio nes en - tre és tos y los cál cu los co no ci dos. Por ejem plo, pa ra a), = 700 pue de pen sar se a par tir de = 9, ó 9 2 = 7. Lue go se pro pon drán otras adi vi nan zas que no in vo lu cren so la men te nú - me ros re don dos. Pre sen ta mos al gu nos ejem plos po si bles, a mo do de stock, pa ra que el do cen te se lec cio ne los que con si de re per ti nen tes pa ra su cla se: g) Pien so un nú me ro, le agre go 250 y ob ten go 600, qué nú me ro pen sé? h) Pien so un nú me ro, le qui to 150 y ob ten go 450, qué nú me ro pen sé? i) A 450 le agre go 250, qué nú me ro ob ten go? j) A 900 le qui to 450, qué nú me ro ob ten go? k) A 470 le agre go 140, qué nú me ro ob ten go? l) A 530 le qui to 150, qué nú me ro ob ten go? Revisión y ampliación del repertorio aditivo 2 CON TE NI DOS n Ex ten sión del re per to rio de re sul ta dos de su mas y res tas co no ci dos a cál cu - los con nú me ros ma yo res. n Re la cio nes en tre su mas y res tas. Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 21
22 REVISIÓN Y AMPLIACIÓN DEL REPERTORIO ADITIVO 1) Si el vi sor de la cal cu la do ra mues tra el nú me ro que apa re ce en la co lum na de la iz quier da, qué cál cu lo se po dría ha cer a con ti nua ción pa ra que el vi sor mos tra ra el re sul ta do que fi gu ra en la co - lum na de la de re cha? Ano ta lo pri me ro en la co lum na del cen tro y re cién des pués ve ri fi ca lo con la cal cu la do ra. Si el visor muestra Cálculo propuesto Resultado esperado a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) ) Si el vi sor de la cal cu la do ra mues tra el nú me ro que apa re ce en la co lum na de la iz quier da, qué cál cu lo se po dría ha cer a con ti nua ción pa ra que el vi sor mos tra ra el re sul ta do que fi gu ra en la co - lum na de la de re cha? Ano ta lo pri me ro en la co lum na del cen tro y re cién des pués ve ri fi ca lo con la cal - cu la do ra. Si el visor muestra Cálculo propuesto Resultado esperado a) b) c) d) e) f) g) h) i) ) Completá los siguientes cálculos: a) = 600 b) = c) = d) = e) =... f) =... g) =... h) =... i) =... j) = G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
23 En es tos pro ble mas se apun ta a re co no cer la re la ción en tre los cál cu los pro - pues tos y las su mas y res tas co no ci das en tre nú me ros del 1 al 10. Efec ti va men - te, a par tir de la dis cu sión de di fe ren tes es tra te gias, se es pe ra iden ti fi car con los alum nos de qué mo do pue den apo yar se en el re per to rio co no ci do. En sus cua der nos o car pe tas, po drían ano tar las con clu sio nes a las que va ya arri ban do to da la cla se. Se es pe ra lle gar a afir ma cio nes del ti po: es co - mo pe ro le agre gás dos ce ros ; co mo = 10, = 100; = 1.000; = 600, si 7 2 = 5; = 500, et cé te ra. Es in te re san te ana li zar aque llos pro ce di mien tos ba sa dos en des com po si cio nes que per mi ten ha cer pie en un nú me ro re don do. Por ejem plo, en el pro ble ma 1d), = 610; es po si ble ir su man do = 600; = 610, se su ma - ron en ton ces 50. Tam bién es po si ble pen sar que, co mo = 11; = 110; en ton ces = = = 610. Re sul ta per ti nen te ex pli ci tar es ta es tra te gia de apo yar se en un nú me ro re - don do al re sol ver una res ta. Por ejem plo, pa ra ir de a 1.900, se pue de pen sar que, si se res tan 300, se cae en el 2.000, y lue go hay que res tar otros 100; re sul ta en ton ces que hay que res tar 400. Se pue de ha cer no tar asi mis mo que los cál cu los = 13 ó 13 9 = 4 pue den ser puen tes al re sul ta do: si 13 9 = 4; = 4; en ton ces, = 400. Se po drá pe dir a los alum nos que ano ten cál cu los co mo és tos que pue dan re - sol ver se a par tir de las su mas y res tas co no ci das por ellos. Sumas y restas con algunos números particulares 3 CON TE NI DOS n Su mas y res tas de 10, 100 y 1.000, a par tir del aná li sis de las es cri tu ras nu - mé ri cas, re la cio nes en tre la or ga ni za ción del sis te ma de nu me ra ción y los cál cu los de su mas y res tas. n Su mas y res tas de nú me ros par ti cu la res (90, 900, 110, 80, 120, etc.) a par tir de las su mas y res tas de 10, 100 y SUMAS Y RESTAS CON ALGUNOS NÚMEROS PARTICULARES 1) Cal cu lá: a) = b) = c) = d) = 2) Cuan do ha yas en con tra do los re sul ta dos, ex pli cá si hay al gu na for ma rá pi da de ha cer es tas su mas. 3) Bus cá una ma ne ra de co no cer rá pi da men te el re sul ta do de: a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) = Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 23
24 4) Bus cá un mo do de ob te ner rá pi da men te el re - sul ta do de: a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = 5) Bus cá una ma ne ra de sa ber rá pi da men te la so - lu ción pa ra: a) = b) = c) = d) = Es ta ac ti vi dad apun ta a que los alum nos pue dan apo yar se en cál cu los re - la ti vos a nú me ros re don dos pa ra pen sar otros: por ejem plo, la des com po si ción = 10, per mi te pen sar ; ; su mar 10 pue de ser una es tra - te gia puen te si se re quie re su mar 11; 8; etc. La dis cu sión pos te rior a la re so lu - ción de ca da pro ble ma, don de se pon gan de re lie ve las es tra te gias po si bles y se las va li de me dian te la ex pli ci ta ción de las ra zo nes de su fun cio na mien to y su iden ti fi ca ción con jun ta an te to da la cla se, es cen tral pa ra que su uso se ex tien - da y co mien ce a es tar dis po ni ble pa ra to dos. Los problemas 1 y 2 po nen en es ce na el aná li sis de com ple men tos de un nú me ro res pec to de otros nú me ros re don dos, en par ti cu lar com ple men tos de nú me ros con la ci fra 9 en al gu na po si ción, lo que re quie re es ta ble cer có mo se trans for ma esa ci fra en 0 de acuer do con su va lor, por ejem plo, Por su pues to, tam bién re quie re ana li zar cuá les son las ci fras del pri mer su man do y có mo se mo di fi can en fun ción de las ca rac te rís ti cas del se gun do nú me ro. Los pro ble mas 3, 4 y 5 apun tan a iden ti fi car que es po si ble ba sar se en cál cu los con nú me ros re don dos pa ra su mar o res tar otros nú me ros cer ca nos a ellos. Así, por ejem plo, pa ra su mar o res tar 90, es po si ble su mar o res tar 100, y lue go res tar o su mar 10, res pec ti va men te. Se es pe ra que es tas equi va len cias que den iden ti fi ca das pa ra to da la cla se y re gis tra das en las car pe tas en for mu - la cio nes del ti po: Res tar 900 es equi va len te a res tar y agre gar 100 ; et - cé te ra. Es im por tan te que, aun que se pres ti gien cier tas re la cio nes que sur gen de las es tra te gias pues tas en jue go pa ra es tos cál cu los, que de abier ta la po si bi li dad de re cu rrir a otros pro ce di mien tos que, se gún los nú me ros, tam bién pue dan re sul - tar per ti nen tes. Por ejem plo, en el pro ble ma 5a), pue de re sol ver se ape - lan do al re sul ta do de = 15 ; a ; a ; etc. Es de cir, bus ca mos que el re cur so a los cál cu los con nú me ros re don dos se en cuen tre dis - po ni ble, pe ro no que se con vier ta en un pro ce di mien to úni co y que anu le la ri - que za de la di ver si dad de po si bi li da des que abre el cál cu lo men tal. 24 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
25 Estimaciones 4 CON TE NI DOS n Es tra te gias de cál cu lo apro xi ma do ba sa das en co no ci mien tos so bre el sis te - ma de nu me ra ción y en el uso de las pro pie da des de las ope ra cio nes. La es ti ma ción en cál cu los arit mé ti cos con sis te en la po si bi li dad de rea li zar apro xi ma cio nes a re sul ta dos, sin ne ce si dad de ha llar una res pues ta exac ta. Co - mo el gra do de apro xi ma ción pue de va riar, hay va rias res pues tas igual men te vá - li das pa ra un mis mo cál cu lo. La es ti ma ción bus ca ra pi dez, por ello uti li za nú me - ros re don dos pa ra fa ci li tar las ope ra cio nes. Es im por tan te que la es ti ma ción se con vier ta en ob je to de en se ñan za. Por un la do, por que for ma par te de co no ci mien tos ma te má ti cos bá si cos de los cua les de be dis po ner to do ciu da da no por su po ten cia pa ra an ti ci par y con tro lar cál cu - los; por otro la do, por su va lor pa ra la com pren sión de las pro pie da des del sis te - ma de nu me ra ción y de las ope ra cio nes y, fi nal men te, pa ra la cons truc ción de un sen ti do de lo nu mé ri co. ESTIMACIONES 1) Tra tá de res pon der, sin ha cer el cál cu lo exac to: a) se rá ma yor o me nor que 500? b) se rá ma yor o me nor que 300? c) se rá ma yor o me nor que 300? d) se rá ma yor o me nor que 600? e) se rá ma yor o me nor que 400? 2) Pa ra ca da uno de los si guien tes cál cu los, te da mos tres op cio nes. Una de ellas, co rres - pon de al re sul ta do co rrec to. Sin ha cer la cuen ta, ana li zá las op cio nes y mar cá cuál te pa re ce que es el re sul ta do: a) = b) = c) = d) = En el pro ble ma 1, los alum nos de ben rea li zar un aná li sis glo bal que les per mi ta en cua drar el re sul ta do. Por ejem plo, en el c), fren te a la ta rea de de - ci dir si es me nor o ma yor que 300, al gún alum no po dría plan tear: no pue de ser me nor que 300 por que = 367 y da más que 300. En el pro ble ma 2, si bien apa re cen tres re sul ta dos pa ra ca da ca so, és tos ya es - tán da dos, y los nú me ros ele gi dos ha cen que no sea ne ce sa rio lle gar a cal cu lar el re sul ta do exac to por que las apro xi ma cio nes per mi ten ir des car tan do los re sul ta - dos in co rrec tos. Las es ti ma cio nes pue den re que rir di fe ren te ni vel de pre ci sión. A ve ces, bas - ta con só lo re fe rir se a las uni da des de or den ma yor, co mo su ce de en el pro ble - ma 1d): se gu ra men te se rá ma yor que 600, por que es 600. Otras ve ces, es ne ce sa rio avan zar ha cien do un aná li sis más ex haus ti vo. Por ejem - Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 25
26 plo, en el pro ble ma 2, pa ra de ci dir con re la ción al cál cu lo , en tre 320 y 420, no bas ta con pen sar en las cen te nas, es ne ce sa rio te ner en cuen ta que su pe ra los 100; por lo tan to, el re sul ta do su pe ra los 400. Abrir el tra ba jo es co lar a si tua cio nes que re quie ren o ad mi ten la es ti ma - ción no cons ti tu ye una prác ti ca ha bi tual; en ge ne ral, las ac ti vi da des apun tan a re - sul ta dos exac tos. Por ello, pa ra fa vo re cer que los alum nos en tren en es te ti po de prác ti ca no re sul ta rá fá cil ini cial men te, se rá ne ce sa rio sos te ner la pro pues ta, alen tar la bús que da, mos trar es tra te gias, ex pli ci tar las ven ta jas de do mi nar es tra - te gias de es ti ma ción por la ra pi dez que pro cu ran, por que per mi ten an ti ci par y con tro lar re sul ta dos pa ra cál cu los exac tos, et cé te ra. En es tas ta reas es im por tan te re to mar las di ver sas es tra te gias que se pon - gan en jue go pa ra di fun dir en la cla se aque llas que que re mos que to dos los alum nos apren dan. A su vez, se rá ne ce sa rio jus ti fi car la va li dez de di chas es tra - te gias, ba sán do se en cál cu los ya re co no ci dos o en co no ci mien tos so bre el sis te - ma de nu me ra ción. Re sul ta tam bién in te re san te dis cu tir las di fe ren cias en tre las res pues tas de los alum nos an tes de di ri mir la cues tión a tra vés de la rea li za ción del cál cu lo efec ti vo. Co mo ya men cio na mos, la ne ce si dad de bus car una ma ne ra de es tar se - gu ros de que cier ta res pues ta es o no co rrec ta, sin ape lar a los re sul ta dos, in vi - ta a re cu rrir a las pro pie da des uti li za das. De ma ne ra trans ver sal, el he cho de pe dir ex pli ca cio nes co mu ni ca im plí ci ta - men te a la cla se que el tra ba jo ma te má ti co in clu ye la ela bo ra ción de ar gu men - tos que jus ti fi quen los re sul ta dos que se van en con tran do, y que los mis mos no es tán li ga dos a la suer te, si no a la pues ta en mar cha de pro ce di mien tos ba sa dos en pro pie da des y en ra zo na mien tos. 5 Sumas y restas con múltiplos de 25 CON TE NI DOS n Sis te ma ti za ción y prác ti ca de su mas y res tas con múl ti plos de 25. n Uti li za ción de su mas y res tas co no ci das que in vo lu cran múl ti plos de 25. Los pro ble mas que si guen apun tan a que los alum nos se fa mi lia ri cen con los re sul ta dos de su mar o res tar 25, 50, 75, 125, etc. Pro po ne mos un tra ba jo en el que, a par tir de la re so lu ción sos te ni da de un con jun to de cál cu los y de la re fle xión so - bre los mis mos, los ni ños pue dan te ner dis po ni ble en me mo ria cier tas re la cio nes y, tam bién, cier tos re sul ta dos. Es tos pro ble mas pue den cons ti tuir ade más una opor - tu ni dad pa ra re cu pe rar es tra te gias pues tas en jue go en ac ti vi da des pre ce den tes. Por ejem plo, pue de pen sar se co mo = 100; pue de pen sar se co mo (que ya se sa be que da 100), pa ra lue go su mar le otros 25, et cé te ra. Se tra ta de iden ti fi car que: = G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
27 = = 75 A par tir de los cál cu los an te rio res, es ta ble cer tam bién que: = = = 100 Se plan tea rán ade más res tas aso cia das a es tos cál cu los, por ejem plo: = = 50, et cé te ra. SUMAS Y RESTAS CON MÚLTIPLOS DE 25 1) Su má men tal men te: = = = = = = = = = = 2) Res tá men tal men te: = = = = = = = Con al gu nos cál cu los se bus ca, ade más, es ta ble cer la es tra te gia que con - sis te en bus car ma ne ras con ve nien tes de agru par los nú me ros pa ra su mar o res tar. Por su pues to, es tas ma ne ras no son úni cas, y di fe ren tes re so lu cio nes pue den ape lar a dis tin tos or de na mien tos de los nú me ros. Por ejem plo, pa ra es po si ble su mar to das las cen te nas por un la do, = 200 y, por otro, agru par las par tes res tan tes de los nú me ros = 100; o tam - bién, = Es tos pro ce di mien tos se apo yan en el uso de las pro pie da des de los nú me - ros y de las ope ra cio nes. En la dis cu sión co lec ti va, de be rá que dar cla ro pa ra to - da la cla se que, en las di fe ren tes des com po si cio nes, siem pre se es tá rea co mo - dan do de dis tin to mo do el mis mo nú me ro. Los alum nos tie nen que guar dar con trol de que siem pre es tán su man do o res tan do la can ti dad so li ci ta da. Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 27
28 6 Cálculo de distancias entre números CON TE NI DOS n n Cál cu lo de com ple men tos a uni da des de mil o de ce nas de mil, a par tir del aná li sis de las es cri tu ras nu mé ri cas. Re la cio nes en tre su ma y res ta. CÁLCULO DE DISTANCIAS ENTRE NÚMEROS 1) Cuán to hay que su mar le a... pa ra ob te ner...? Cuánto hay que para obtener...? Respuesta Anotaciones en borrador sumarle a que necesites hacer para averiguarlo ) Cuán to hay que res tar le a pa ra ob te ner...? Cuánto hay que para obtener...? Respuesta Anotaciones en borrador restarle a que necesites hacer para averiguarlo Pa ra es tos pro ble mas pue de re sul tar in te re san te el uso de la cal cu la do ra para comprobar sus respuestas por que la actividad exi ge a los alum nos an ti ci par el cál cu lo y, al ha cer lo luego efec ti va men te en la má qui na, es po si ble re ci bir una ve ri fi ca ción in me dia ta de esa an ti ci pa ción. Se les pue de pe dir que ano ten el nú - me ro que con si de ran que de be su mar se y que, an tes de com pro bar lo con la cal - cu la do ra, bus quen una ma ne ra de es tar se gu ros de lo que han an ti ci pa do. Es tas si tua cio nes per mi ten po ner en re la ción la su ma y la res ta. Así, por ejem plo, el pro ble ma 2 ofre ce la po si bi li dad de dis cu tir con los ni ños que, aun - que el pro ble ma tra te de una res ta, se pue de re sol ver a par tir de una su ma. Pa ra de ter mi nar cuán to hay que res tar le a pa ra ob te ner 755, una es tra - 28 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
29 te gia fre cuen te con sis te en bus car el com ple men to, por ejem plo, de la si guien - te ma ne ra: = = = Se tra ta de ana li zar co lec ti va men te la re la ción en tre es te pro ce di mien to ba - sa do en la su ma ( = 1.000) y la res ta ( = 245). Los alum nos sue len re sol ver de ma ne ra si mi lar el pro ble ma 1 cal cu lan do cuán to hay que su mar le a un nú me ro pa ra al can zar otro. Por ejem plo, pa ra ave - ri guar cuán to hay que su mar le a 358 pa ra ob te ner 1.000, una ma ne ra en que los alum nos pue den pen sar es te pro ble ma es a par tir de su mas par cia les que per mi - tan re don dear el nú me ro: = = = En ton ces, a 358 se le su mó 642. Un as pec to a iden ti fi car en el aná li sis co lec ti vo es có mo re cons truir la res - pues ta a par tir de la se rie de cál cu los rea li za dos. Es to exi ge te ner un con trol de to dos los cál cu los, y no só lo del úl ti mo, pa ra lle gar a es ta ble cer que, por ejem - plo, pa ra el ca so an te rior, fi nal men te se ha su ma do 642 a 358 y se ob tu vo 1.000, con lo cual la res pues ta es 642. Nue va men te en es te ca so se pue den re sal tar las re la cio nes: = = 642 Ob ser ve mos que, en el tra ba jo de cál cu lo men tal con su mas y res tas, a ve ces re sul ta con ve nien te co men zar a ope rar por las ci fras de ma yor or den (por ejem plo, pa ra ha cer , cal cu lar = 400 ó = 472, y lue go agre - gar las de ce nas y las uni da des); otras ve ces es útil co men zar por las uni da des por - que de esa ma ne ra se re don dea el nú me ro, de mo do que las su mas si guien tes sean más sen ci llas (por ejem plo, pa ra ha cer conviene em pe zar ha cien do 8 + 2, pa ra ob te ner 10 y tra tar más fá cil men te los cál cu los si guien tes). La ri que za del tra ba jo de cál cu lo men tal in clu ye el he cho de que los ni ños tie nen que de ci dir la es tra te gia más con ve nien te. La po si bi li dad de los alum nos de abor dar los pro ble mas de pen de rá de la fa mi lia ri dad que ten gan con es te ti po de ac ti vi da des, de sus co no ci mien tos so bre el sis te ma de nu me ra ción, del re don - deo, etc. Si pa ra al gu nos ni ños re sul ta ra muy di fí cil, se po drán pro po ner ac ti vi - da des si mi la res con nú me ros más pe que ños, de ma ne ra que ten gan la po si bi li - dad de po ner en jue go es tra te gias co mo las re se ña das a pro pó si to de un ran go nu mé ri co so bre el que tie nen ma yor do mi nio. De la mis ma ma ne ra, tam bién se pre ten de que los cri te rios que se usan pa ra va li dar una cier ta es tra te gia va yan avan zan do y de jen de ser sa be mos que es tá bien por que nos dio lo mis mo pa - ra pro gre si va men te acer car se a sa be mos que es tá bien por que nos apo ya mos en es tas re la cio nes que con si de ra mos que son co rrec tas. En es te mar co, re sul ta esen cial el tra ba jo de de ba te co lec ti vo. Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 29
30 7 Dobles y mitades CON TE NI DOS n Cál cu lo de do bles y mi ta des a par tir del re per to rio adi ti vo. n Uso de los co no ci mien tos so bre el sis te ma de nu me ra ción y la pro pie dad dis - tri bu ti va res pec to de la su ma pa ra la mul ti pli ca ción y pa ra la di vi sión en el cál cu lo de do bles y mi ta des. El co no ci mien to de do bles y mi ta des cons ti tu ye un buen pun to de apo yo pa - ra or ga ni zar la re so lu ción de al gu nos cál cu los men ta les. Por esa ra zón, con si de ra - mos que es re le van te que la en se ñan za de di que un es pa cio a ga ran ti zar su do mi - nio por par te de los alum nos. Si bien es te co no ci mien to se re to ma rá a pro pó si to de la mul ti pli ca ción y la di vi sión, bus ca mos una pri me ra apro xi ma ción a par tir de su mar dos ve ces el mis mo nú me ro. Es ne ce sa rio es tar aler ta a que no to dos es tos cál cu los son equi va len tes, su com ple ji dad de pen de mu cho de los nú me ros in vo lu cra dos. Sa be mos que en con trar el do ble de un nú me ro re sul ta más fá cil a los ni ños que ha llar la mi tad. A su vez, cal cu lar la mi tad de nú me ros cu yas ci fras son to das pa res co mo 24, 48, 866, etc. oca sio na me nos di fi cul ta des que cal cu lar la mi tad de nú me ros con al gu na o al gu - nas ci fras im pa res co mo 38, 562, etc.. Por ejem plo, pa ra pen sar la mi tad de 48, es po si ble ape lar a la mi tad de 4 y de 8, lo cual fa ci li ta su re so lu ción; en cam bio, pa ra pen sar la mi tad de 38, no es po si ble ha cer lo de la mis ma ma ne ra: la mi tad de 30 es 15 y la mi tad de 8 es 4, con lo cual la mi tad de 38 re sul ta 19. Se rá in te re - san te que es ta ma yor com ple ji dad pa ra cier tos nú me ros se con vier ta en ob je to de aná li sis en la cla se. Se es pe ra que los alum nos ape len al uso de re la cio nes que es tán vin cu la das con la pro pie dad dis tri bu ti va de la mul ti pli ca ción res pec to de la su ma o de la res ta, y con la pro pie dad dis tri bu ti va a de re cha de la di vi sión res pec to de la su ma o de la res ta. Co mo pro duc to de un aná li sis con jun to de to da la cla se, pos te rior a las re so lu cio nes, se es pe ra que los alum nos, con ayu da del do cen - te, lle guen a iden ti fi car pro ce di mien tos del ti po: El do ble de 29 es igual al do ble de 20 más el do ble de 9. El do ble de 29 es igual al do ble de 30 me nos 2, que es el do ble de 1. La mi tad de 52 es igual a la mi tad de 50 más la mi tad de 2. La mi tad de 98 es igual a la mi tad de 100 me nos la mi tad de 2. Las si guien tes son ac ti vi da des que el maes tro po drá pro po ner, si lo con si - de ra per ti nen te, pa ra com ple tar o pro fun di zar el tra ba jo rea li za do: Cal cu lá el do ble de ca da uno de es tos nú me ros: Cal cu lá la mi tad de ca da uno de es tos nú me ros: G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
31 Multiplicación y división Tabla de multiplicaciones 1 CON TE NI DOS n n Sistematización y ampliación del repertorio de multiplicaciones. Exploración de las relaciones de proporcionalidad involucradas en las multiplicaciones. El pro pó si to de es ta ac ti vi dad con sis te en com ple tar el cua dro pa ra lue go es - ta ble cer di fe ren tes re la cio nes en tre al gu nas ta blas de mul ti pli car. De ma ne ra aná lo ga a lo men cio na do res pec to del re per to rio adi ti vo, se tra ta aquí de que los alum nos pue dan cons truir una red de re la cio nes que les fa ci li ten la me mo ri za - ción de al gu nos pro duc tos, o una fá cil re cons truc ción a par tir de re sul ta dos me - mo ri za dos. Por ejem plo, re cor dar 7 x 8 sa bien do que es el do ble de 7 x 4, o el cuá dru ple de 7 x 2, o a par tir de 5 x x 8, o de 7 x 10 7 x 2; etc. Bus ca - mos así apo yar la me mo ri za ción en la com pren sión, de mo do de con tri buir a evi - tar una es ce na tan fre cuen te en las au las: los ni ños se ol vi dan las ta blas, a pe - sar de que se les so li ci ta es tu diar las y re pa sar las to dos los años. Se pro pon drá a los alum nos com ple tar in di vi dual men te, en un cua dro co mo el que si gue de no mi na do cua dro o ta bla pi ta gó ri ca los ca si lle ros co rres pon - dien tes a aque llos pro duc tos que re cuer den de me mo ria. El nú cleo de es ta ac ti vi dad con sis te en el aná li sis co lec ti vo pos te rior, en el cual se apun ta a es ta ble cer re la cio nes en tre las di fe ren tes ta blas y a ex pli ci tar el mo do en que es tas re la cio nes ayu dan a co no cer los re sul ta dos de una mul ti - pli ca ción a par tir de otras. Material: Una ta bla pi ta gó ri ca pa ra com ple tar por alum no. Un afi che con la mis ma ta bla, ta ma ño pi za rrón, pa ra el aná li sis co lec ti - vo pos te rior. Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 31
32 X Del aná li sis co lec ti vo, se es pe ra lle gar a es ta ble cer las si guien tes re la cio nes: a) Las di fe ren tes ta blas pue den re la cio nar se en tre sí. Un as pec to cen tral a tra ba jar en es ta dis cu sión co lec ti va es que los alum - nos re fle xio nen acer ca de có mo usar los re sul ta dos que re cuer dan pa ra ave ri - guar otros, a par tir de las re la cio nes en tre las di fe ren tes fi las y co lum nas de es - ta ta bla. Res pec to de la ta bla del 5, es in te re san te re to mar lo que los alum nos ya sa - ben a pro pó si to de la mul ti pli ca ción por 10 y vin cu lar lo con la mul ti pli ca ción por 5, pa ra pro du cir for mu la cio nes si mi la res a: la ta bla del 5 es fá cil, por que to dos los nú me ros ter mi nan en 0 o en 5; si re co rre mos la ta bla del 5 de a dos ca si lle ros a par tir del 10 (5 x 2), en - con tra mos la ta bla del 10; por que dos ve ces cin co equi va le a una vez diez: ya se co no cían las mul ti pli ca cio nes por 10; mul ti pli car por 5 es la mi tad de mul ti pli car por 10; si re co rre mos la ta bla del 5 de a dos ca si lle ros, a par tir de un nú me ro que ter mi na en 5, se cae en otro nú me ro que tam bién ter mi na en 5, y que es el re sul ta do de ha ber le su ma do 10 al an te rior. Del mis mo mo do, se co men ta rá que la ta bla del 4 es el do ble de la ta bla del 2, la del 8 es el do ble que la del 4, la del 6 es el do ble que la del 3, la del 9 es el tri ple que la del 3, et cé te ra. Tam bién es po si ble es ta ble cer que la ta bla del 7 pue de re cons truir se su man - do los re sul ta dos de las ta blas del 3 y del 4, o res tan do los resultados de la ta - bla del 10 a los resultados correspondientes de la ta bla del 3. Del mis mo mo do, es po si ble co no cer los re sul ta dos de otras mul ti pli ca cio nes, ta les co mo las mul - ti pli ca cio nes por 9, a par tir de su mar los re sul ta dos de mul ti pli car por 4 y por 5; por 7 y por 2; o restar, al número multiplicado por 10, una vez ese número. Se tra ta, en sín te sis, de es ta ble cer una red de re la cio nes en tre mul ti pli ca - cio nes a par tir del cua dro pi ta gó ri co que ali men ta rán la ne ce sa ria me mo ri za - ción de los pro duc tos pa ra fa ci li tar que es tén dis po ni bles en el mo men to de rea - li zar un cál cu lo. 32 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
33 b) La pro pie dad con mu ta ti va de la mul ti pli ca ción ha ce que bas te con me - mo ri zar la mi tad de los pro duc tos del cua dro. Otro as pec to a ana li zar se re fie re a los re sul ta dos que se rei te ran a par tir de un eje de si me tría cons ti tui do por una dia go nal del cua dro. Es to, ba sa do en la con mu ta ti vi dad de la mul ti pli ca ción, per mi te re cons truir una mi tad del cua - dro a tra vés del co no ci mien to de la otra mi tad. c) La multiplicación por 0 y por 1 son casos particulares que podrían ponerse en debate. d) Pue de ha ber di fe ren tes mul ti pli ca cio nes que den el mis mo re sul ta do. Po drán bus car se dis tin tas mul ti pli ca cio nes que arro jen un mis mo re sul ta do. Por ejem plo, pa ra los si guien tes nú me ros: 24, 18, 30, 32, 36, et cé te ra. Co mo con clu sión de es tos aná li sis se es pe ra que los alum nos com pren dan que las pro pie da des de las ope ra cio nes pue den con tri buir a re cons truir los cál cu los y a re cu pe rar los en ca so de ol vi do. Re sul ta ne ce sa rio pro po ner, en su ce si vas opor tu ni da des, un tra ba jo sis te - má ti co di ri gi do a que los alum nos me mo ri cen es te re per to rio. Pa ra ello, el maes tro po drá pe dir les que ano ten cuá les son las ta blas o mul ti pli ca cio nes que re cuer dan fá cil men te de me mo ria y no tie nen que vol ver a cal cu lar ca da vez y cuá les les re sul tan muy di fí ci les de re cor dar. En ins tan cias co lec ti vas, los ni ños po drán pre sen tar las mul ti pli ca cio nes que les re sul tan com pli ca das y, en tre to dos, bus car pis tas a par tir de las di fe ren tes re la cio nes que per mi - tan re cor dar las. Si al guien no re cuer da 9 x 8, es po si ble re cons truir lo. Por ejem plo, 9 x 4: vi mos que 9 x 8 es el do ble de 9 x 4: 9 x 8 = 9 x 4 x 2 = 36 x 2 = 72; 9 x 8 = 9 x x 3 = = 72; 9 x 8 = 5 x x 8 = = 72; 10 x 8 8 = 80 8 = 72; 9 x 10 9 x 2 = = 72; et cé te ra. Es tas pis tas que da rán re gis tra das en las car pe tas pa ra que los alum nos pue dan vol ver so bre ellas las ve ces que lo con si de ren ne ce sa rio. To do es te ba - ga je de co no ci mien tos cons ti tui rá una tra ma que con tri bui rá al tra ba jo de me - mo ri za ción de las ta blas. Al gu nas pro lon ga cio nes po si bles: a) Po drá pro po ner se a los alum nos ju gar a la ta pa di ta : el do cen te mues tra la ta bla pi ta gó ri ca del afi che com ple ta con al gu nos ca si lle ros ta pa dos. Los alum nos de be rán ano tar en sus cua der nos los re sul ta dos de las mul ti pli ca - cio nes que se en cuen tran ocul tos (sin con sul tar sus ta blas pi ta gó ri cas per - so na les). Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 33
34 b) Tam bién se les pue den pre sen tar ta blas com ple tas con al gu nos erro res pa - ra que ellos las co rri jan. c) Uti li zan do la cal cu la do ra, es po si ble plan tear a los ni ños pro ble mas que re - quie ran re cons truir un re sul ta do de la ta bla pi ta gó ri ca a par tir de otros: En la cal cu la do ra te nés que ha cer las si guien tes mul ti pli ca cio nes, có mo po drías re sol ver las si no fun cio na ra la te cla 8? 4 x 8 = 6 x 8 = 7 x 8 = 5 x 8 = Y si no pu die ras usar la te cla del 6? 9 x 6 = 8 x 6 = 7 x 6 = Si no fun cio na ra la te cla del 7? 4 x 7 = 10 x 7 = 5 x 7 = d) Pa ra que los alum nos mis mos pue dan con tro lar cuá les son las mul ti pli ca - cio nes que re cuer dan y cuá les no, es po si ble or ga ni zar el si guien te jue go. El maes tro di ce una mul ti pli ca ción y la ano ta en el pi za rrón. Da só lo unos bre - ves ins tan tes pa ra que los ni ños, de ma ne ra in di vi dual, la es cri ban en su car - pe ta y ano ten tam bién el re sul ta do. En se gui da dic ta otra mul ti pli ca ción y los ni ños re pi ten el pro ce di mien to. Si no re cor da ran ese pro duc to, de to dos mo dos la co pian en su ho ja. Lue go de va rias mul ti pli ca cio nes, se con tro lan los re sul ta dos con la cal cu - la do ra y se dis cu te, en tre to dos, cuá les han si do las cuen tas en las que no pu - die ron res pon der o se equi vo ca ron. El maes tro se lec cio na qué ca sos ana li zar y ges tio na, en ton ces, una dis cu - sión co lec ti va en la que en tre to dos los ju ga do res es ta ble cen pis tas pa ra que se pue dan re cor dar esas mul ti pli ca cio nes en una pró xi ma opor tu ni dad. Ca da alum no, a su vez, de be rá or ga ni zar las mul ti pli ca cio nes que de be es - tu diar. Pa ra ello, tra ba ja rá en su car pe ta y po drá agru par las, ano tar las pis tas su ge ri das en la cla se, so li ci tar pis tas pa ra al gu nas mul ti pli ca cio nes que no se ha yan dis cu ti do, dis tri buir su es tu dio a lo lar go de los días, et cé te ra. Se rá in te re san te que, en su ce si vas ju ga das, los alum nos eva lúen có mo dis - mi nu yen las mul ti pli ca cio nes que des co no cen, es de cir, cuá les van de jan do de for mar par te de las que no pue den re sol ver pa ra con ver tir se en las que ya do - mi nan. 34 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
35 La tabla pitagórica para resolver divisiones 2 CON TE NI DOS n n n Uso del repertorio multiplicativo para resolver divisiones exactas. Relaciones entre multiplicación y división. La división como la búsqueda del factor desconocido de una multiplicación. LA TABLA PITAGÓRICA PARA RESOLVER DIVISIONES 1) Un nú me ro, mul ti pli ca do por 7, da 56. Qué nú me ro es? Des pués de bus car el nú me ro, iden ti fi cá en tre las si guien tes es cri tu ras la que re - pre sen ta es ta adi vi nan za: = x 7 = = 56 2) Pa ra ca da una de las si guien tes pre gun tas, se - ña lá la res pues ta co rrec ta y ano tá el cál cu lo que hi cis te pa ra res pon der: Cuál es el nú me ro que, mul ti pli ca do por 7, da 21? Cuál es el nú me ro que, mul ti pli ca do por 8, da 32? ) In ven ten adi vi nan zas si mi la res y de sa fíen a sus com pa ñe ros. Cuál es el nú me ro que, mul ti pli ca do por 5, da 40? Estas situaciones tratan de la búsqueda de un factor desconocido de una multiplicación. Para los alumnos, no resulta evidente que buscar el factor desconocido de una multiplicación equivale a dividir el producto por el otro factor: establecer esta relación es un objetivo de la actividad. Así, por ejemplo, a partir de 6 x 7 = 42, es posible afirmar que 42 : 7 = 6 y 42 : 6 = 7. A continuación, el docente podrá proponer diferentes divisiones que puedan resolverse a partir de los resultados de la tabla pitagórica y pedir a los alumnos que piensen otros ejemplos. LA TABLA PITAGÓRICA PARA RESOLVER DIVISIONES 4) A partir de los resultados de la tabla de multiplicaciones, completá el cociente de las siguientes divisiones: 36 : 6 = 36 : 4 = 48 : 8 = 42 : 7 = 81 : 9 = Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 35
36 3 Multiplicación y división por 10, 100 y y por otros números terminados en ceros Es ta ac ti vi dad abor da con te ni dos re la cio na dos con las ope ra cio nes mul ti pli ca ti - vas in vo lu cra das en las es cri tu ras de los nú me ros. Se tra ta de tra ba jar so bre las mul ti pli ca cio nes y di vi sio nes por 10, 100 y 1.000, y ex ten der las co mo pun tos de apo yo pa ra re sol ver otros cál cu los. CON TE NI DOS n Cál cu lo men tal de mul ti pli ca cio nes y di vi sio nes apo yán do se en pro pie da des de las ope ra cio nes y del sis te ma de nu me ra ción: mul ti pli ca ción y di vi sión por po ten cias de 10, mul ti pli ca ción y di vi sión por nú me ros re don dos. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN POR 10, 100 Y Y POR OTROS NÚMEROS TERMINADOS EN CEROS 1) a) En la ta bla de mul ti pli ca cio nes en con tra mos al go que ya sa bía mos: al mul ti pli car un nú me - ro por 10, el pro duc to ter mi na en ce ro. Eso su ce de siem pre? Po de mos sa ber con cer te za que si uno con ti núa con la ta bla del 10 has ta un nú me ro cual quie ra, el pro duc to ter mi na rá en 0? Por qué su ce de eso? b) Po dés dar rá pi da men te el re sul ta do de 25 x 10? Y, lue go el de 64 x 10? c) Cuá les de es tos nú me ros po drían ser el re sul ta do de una mul ti pli ca ción por 10? ) Va mos a re to mar las re la cio nes an te rio res pa ra ana li zar las mul ti pli ca cio nes por 100. a) Cal cu lá: 23 x x x x x 100 b) Cuá les de es tos nú me ros po drían ser el re sul ta do de una mul ti pli ca ción por 100? ) Cal cu lá men tal men te: a) 45 x... = b) 128 x... = c) 17 x... = d)... x 10 = 320 e)... x 100 = 800 f)... x 100 = G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
37 g)... x 100 = h)... x = i)... x = j)... x = ) a) Ano ten di vi sio nes que se pue den co no cer a par tir de las mul ti pli ca cio nes que hi cie ron en los pro - ble mas an te rio res. Por ejem plo, si 45 x 100 = 4.500, en ton ces se pue de es cri bir: : 100 = 45 y : 45 = 100 b) En pa re jas, tra ten de re cor dar o ela bo rar una re gla que sir va pa ra las di vi sio nes por 10, 100 ó ) Ana li zá es tos cál cu los pa ra an ti ci par cuá les da rán el mis mo re sul ta do. Ex pli cá có mo lo pen sas te. 4 x 2 x 10 = 80 x 10 = 4 x 2 x 10 x 10 = 4 x 20 = 5 x 10 x 4 x 10 = 50 x 40 = 6) a) Ima gi na te que el vi sor de la cal cu la do ra mues tra ca da uno de los nú me ros que apa re cen en la co - lum na de la iz quier da. Ano tá có mo es po si ble, con una úni ca ope ra ción en ca da ca so, lo grar que apa rez ca en el vi sor de la cal cu la do ra el re sul ta do es cri to en la co lum na de la de re cha. Co mo siem - pre, te pe di mos que pri me ro lo an ti ci pes y, re cién des pués, lo ve ri fi ques en tu cal cu la do ra b) Ano tá 35 en la cal cu la do ra y rea li zá una ope ra ción por vez pa ra ob te ner su ce si va men te los nú - me ros de la ti ra Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 37
38 c) Cal cu lá men tal men te: 4 x 60 =... x 200 = x 20 =... x 50 = x 30 = 8 x... = x 60 =... x 50 = x 70 =... x 80 = d) Po dés aho ra pro po ner una re gla pa ra mul ti pli ca cio nes y di vi sio nes por cual quier nú me ro ter mi na do en ce ro? (Por ejem plo, 20, 50, 200, 1400.) Esta actividad pone en juego la relación entre el sistema de numeración, y la multiplicación y división por potencias de 10 y múltiplos de ellas (10, 100, 1.000, etc. y números como 20, 500, 3.000, etc., respectivamente). Se apunta a que los alumnos amplíen su repertorio multiplicativo, mediante la inclusión de reglas automatizadas para estos cálculos y que se apoyen también en las multiplicaciones conocidas a partir de la tabla pitagórica. Así, es importante detenerse a analizar que, por ejemplo, 4 x 30 es equivalente a 4 x 3 x 10, porque 30 es 3 x 10; entonces, 4 x 30 equivale a hacer 4 x 3 x 10. Por esa razón, resulta posible apelar a 4 x 3 para luego multiplicarlo por 10. Estas equivalencias se fundamentan en la propiedad asociativa de la multiplicación. Estas relaciones y la vinculación entre la multiplicación y la división permiten justificar un procedimiento análogo para resolver divisiones con números redondos. Por ejemplo, 180 : 30 = 6 puede justificarse del siguiente modo: Como 6 x 30 = 6 x 3 x 10 = 180, entonces 180 : 3 = 6 x : 3 : 10 = 6 Por esta razón, puede apelarse a dividir las partes del número sin los ceros para después dividir ese cociente por la potencia de la base que corresponda, en este caso Multiplicación por algunos números particulares (19, 21, etc.), a partir de la multiplicación por números redondos CON TE NI DOS n Cál cu lo men tal de mul ti pli ca cio nes y di vi sio nes apo yán do se en pro pie da des de las ope ra cio nes y del sis te ma de nu me ra ción: uso de la mul ti pli ca ción por po ten cias de 10 y múl ti plos de ellas pa ra re - sol ver otras mul ti pli ca cio nes; uso de la pro pie dad dis tri bu ti va de la mul ti pli ca ción res pec to de la su ma y de la res ta. 38 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
39 MULTIPLICACIÓN POR ALGUNOS NÚMEROS PARTICULARES (19, 21, ETC.), A PARTIR DE LA MULTIPLICACIÓN POR NÚMEROS REDONDOS 1) a) Mul ti pli car 3 x 20 es fá cil. Aho ra bien, có - mo se pue de uti li zar esa cuen ta pa ra cal cu lar 3 x 19 men tal men te? b) Cal cu lá men tal men te es tos pro duc tos: 5 x 19 = 7 x 19 = 30 x 19 = En el pro ble ma 1a), des pués de de jar les un tiem po a los alum nos pa ra que pien sen y bus quen al gún pro ce di mien to pa ra 3 x 19, se po drá ana li zar co lec ti va - men te en qué sen ti do la mul ti pli ca ción por 20 es un re cur so pa ra mul ti pli car por 19, ex pli ci tan do que 19 ve ces un nú me ro es equi va len te a 20 ve ces ese mis mo nú me ro me nos una vez el nú me ro, es de cir: 3 x (20 1) = 3 x 20 3 = 60 3 = 57 Lue go, po drán plan tear se cál cu los si mi la res pa ra que los ni ños pue dan uti li zar la es tra te gia ana li za da. Un error muy fre cuen te en pro ble mas del ti po (1b) con sis te en que los alum - nos mul ti pli quen por 20, y res ten 1 pa ra mul ti pli car por 19. Es in te re san te so me - ter lo al aná li sis. Re sul ta fun da men tal ins ta lar en el gru po la ne ce si dad de con tro - lar, por ejem plo, có mo es po si ble es tar se gu ro de que pa ra 3 x 19 se hi cie ron 19 ve ces 3, ex pli ci tan do que, al ha cer 20 ve ces 3, hay que res tar 1 vez 3, y no 1. MULTIPLICACIÓN POR ALGUNOS NÚMEROS PARTICULARES (19, 21, ETC.), A PARTIR DE LA MULTIPLICACIÓN POR NÚMEROS REDONDOS 2) Calculá mentalmente estos productos y explicá cómo los pensaste: a) 5 x 29 = b) 7 x 49 = c) 6 x 38 = d) 3 x 78 = Se tra ta de ex ten der el re cur so iden ti fi ca do en el pro ble ma an te rior a otras mul ti pli ca cio nes. Pa ra mul ti pli car por 38, por ejem plo, es per ti nen te pen sar lo a par tir de la mul ti pli ca ción por 40: 6 x 38 = 6 x 40 6 x 2 Es ne ce sa rio ana li zar ex plí ci ta men te es ta equi va len cia pa ra ase gu rar se de que los alum nos com pren dan que, en am bos ca sos, se es tá ha cien do 38 ve ces 6. Tam bién aquí se po drá re to mar el error ana li za do a pro pó si to del pro ble - ma an te rior, al ex pli ci tar, por ejem plo, por qué mul ti pli car por 38 no es equi - va len te a mul ti pli car por 40 y res tar 2, si no que es ne ce sa rio res tar dos ve ces el nú me ro. Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 39
40 MULTIPLICACIÓN POR ALGUNOS NÚMEROS PARTICULARES (19, 21, ETC.), A PARTIR DE LA MULTIPLICACIÓN POR NÚMEROS REDONDOS 3) Calculá mentalmente estos productos y explicá cómo los pensaste: a) 7 x 39 = b) 9 x 22 = c) 6 x 22 = d) 5 x 59 = e) 4 x 53 = La re so lu ción y el aná li sis de es te pro ble ma pue de or ga ni zar se de ma ne ra si mi lar a la pro pues ta pa ra el pro ble ma 1. Es de cir, plan tear un pri mer cál cu lo que apun te a que los ni ños ex plo ren cier tas es tra te gias y ana li zar las co lec ti va - men te pa ra es ta ble cer al gu na con clu sión. Por ejem plo, 7 x 39 pue de pen sar se co mo 7 x 40 7, iden ti fi can do el apo yo en la mul ti pli ca ción por un nú me ro re - don do y, con es te re cur so es ta ble ci do, rea li zar lue go los otros cál cu los. Co mo en los pro ble mas an te rio res, los alum nos de be rán estar en condiciones de con tro lar (y pro bar) que, en di cho pro ce di mien to, se ase gu ra ha ber he cho 39 ve ces 7. De ma ne ra si mi lar, pa ra e), se rá útil re cu rrir a 4 x x 3, et cé te ra. MULTIPLICACIÓN POR ALGUNOS NÚMEROS PARTICULARES (19, 21, ETC.), A PARTIR DE LA MULTIPLICACIÓN POR NÚMEROS REDONDOS 4) Re vi sá los pro ce di mien tos que se usa ron pa ra los pro ble mas an te rio res. Pro po né otras mul ti pli ca - cio nes ayu dán do te con lo que sa bés so bre los cál cu los con nú me ros re don dos. Es ta ac ti vi dad es tá orien ta da a que los alum nos reu ti li cen y ge ne ra li cen los co no ci mien tos iden ti fi ca dos en los pro ble mas que an te ce den: las mul ti pli ca cio nes con nú me ros re don dos sir ven de apo yo pa ra mul ti pli ca cio nes con otros nú me - ros par ti cu la res. Así, la mul ti pli ca ción por 20 per mi te ac ce der a mul ti pli ca cio nes por 19, 21, 18, 22 y 17, mien tras que la mul ti pli ca ción por 30, a mul ti pli ca cio nes por 31, 29, et cé te ra. Se tra ta de con cluir con los alum nos que, por ejem plo, mul ti pli car por 19 equi va le a el nú me ro da do mul ti pli ca do por 20 me nos una vez ese nú me ro. Pro ce di mien tos co mo és tos se ba san en la pro pie dad dis tri bu ti va de la mul - ti pli ca ción res pec to de la su ma y de la res ta. Es así co mo cier tos pro ble mas de cál cu lo men tal cons ti tu yen una opor tu ni dad pa ra ha cer fun cio nar cier tas pro pie - da des y re co no cer allí su va lor co mo he rra mien ta pa ra fa ci li tar los cál cu los, o pa - ra pro bar la va li dez de un pro ce di mien to. 5 CON TE NI DOS Resolver cálculos a partir de uno conocido n Cál cu lo men tal de mul ti pli ca cio nes y di vi sio nes apo yán do se en pro pie da des de las ope ra cio nes y del sis te ma de nu me ra ción: re la cio nes en tre la mul ti pli ca ción y la di vi sión; des com po si cio nes de ca da uno de los fac to res y el pro duc to. 40 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
41 RESOLVER CÁLCULOS A PARTIR DE UNO CONOCIDO 1) a) A partir de las siguientes multiplicaciones, es posible completar la tabla sin volver a hacer toda la cuenta? 2 x 28 = 56 3 x 28 = 84 4 x 28 = x 28 = 140 x Es ta ac ti vi dad apun ta a iden ti fi car di fe ren tes re la cio nes en tre las mul ti pli ca - cio nes, las que po si bi li tan dis tin tos ca mi nos de bús que da pa ra ca da uno de los pro duc tos so li ci ta dos. De ese mo do, por ejem plo, es po si ble cal cu lar: 8 x 28, sa bien do que 8 es el do ble de 4; por lo tan to, ese pro duc to se rá el do - ble de 4 x 28; 6 x 28, ha cien do el do ble de 3 x 28; el tri ple de 2 x 28, res tan do una vez 28 a 4 x 28; o ha cien do 5 x 28 2 x 28; 10 x 28 re sul ta un pro duc to co no ci do fá cil men te ya por los alum nos; es po si ble re co no cer tam bién que es el do ble de 5 x x 28 a par tir del do ble de 10 x 28; de 2 x 28 x 10; de 5 x 4 x 28; et cé te ra. El do cen te po drá re cor dar las re la cio nes en tre las ta blas de mul ti pli ca ción ana li za das a pro pó si to de la ta bla pi ta gó ri ca. RESOLVER CÁLCULOS A PARTIR DE UNO CONOCIDO 2) a) A par tir de los si guien tes re sul ta dos, có mo po drías re sol ver las mul ti pli ca cio nes que apa re cen a con ti nua ción? 1 x 34 2 x 34 3 x 34 4 x 34 5 x 34 6 x 34 7 x 34 8 x 34 9 x x x 34 = 11 x 34 = 15 x 34 = b) Anotá tres multiplicaciones que se puedan calcular con la ayuda de los resultados que aparecen en la tabla anterior; luego, intercambiá esas multiplicaciones con un compañero para que las resuelva sin hacer toda la cuenta. Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 41
42 En es te pro ble ma se uti li zan, nue va men te, los re cur sos tra ba ja dos en las ac - ti vi da des an te rio res: com po ner uno de los fac to res a par tir de otros. Por ejem plo, 11 x 34 pue de pen sar se co mo 5 x x 34. RESOLVER CÁLCULOS A PARTIR DE UNO CONOCIDO 3) a) A con ti nua ción te da mos el re sul ta - do de dos mul ti pli ca cio nes. Có mo po - drías usar esos re sul ta dos pa ra cal cu lar el de las otras? Sabiendo que 3 x 40 = 120, calculá: 3 x 400 = 30 x 40 = 300 x 4 = 6 x 40 = 9 x 40 = Sabiendo que 80 x 20 = 1.600, calculá: 80 x 40 = 80 x 80 = 80 x 60 = b) Qué di vi sio nes po drías plan tear a par tir de las mul ti pli ca cio nes y los re sul ta dos que pro du jis te en el ejer ci cio an te rior? c) A con ti nua ción te da mos el re sul ta do de una di vi sión. Có mo po drías usar ese re - sul ta do pa ra re sol ver los cál cu los que apa re cen a con ti nua ción? : 30 = : 80 = 80 x 30 = : 30 = Es te pro ble ma re to ma y avan za en la con si de ra ción de las pro pie da des de las ope ra cio nes pa ra en fo car cier tos cál cu los: mul ti pli car por 9 es el tri ple de mul ti - pli car por 3; mul ti pli car un nú me ro por 60 es equi va len te a su mar los pro duc tos par cia les que re sul tan de mul ti pli car ese nú me ro por 40 y por 20, et cé te ra. Otra cues tión im por tan te que se re to ma aquí es la re la ción en tre mul ti pli ca - ción y di vi sión: có mo es po si ble, a par tir de una mul ti pli ca ción, co no cer dos di vi - sio nes o, a par tir de una di vi sión exac ta, co no cer una mul ti pli ca ción y otra di vi sión. Por ejem plo, si 3 x 40 = 120, en ton ces: 120 : 3 = : 40 = 3 O tam bién, si : 30 = 80, en ton ces: : 80 = x 30 = RESOLVER CÁLCULOS A PARTIR DE UNO CONOCIDO 4) a) To man do en cuen ta que 120 x 30 = 3.600, cal cu lá los re sul ta dos de: 220 x 30 = 320 x 30 = 420 x 30 = Pa ra ca da ca so, ex pli cá có mo lo pen sas te. 42 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
43 A par tir de es ta ac ti vi dad se po drá ana li zar que, to man do co mo ba se la mul - ti pli ca ción da da y con si de ran do el fac tor cons tan te 30, por ca da 100 que au men - ta el otro fac tor, el pro duc to au men ta (re sul ta do de 100 x 30). Es to se pue de cla ri fi car me jor ape lan do a la pro pie dad dis tri bu ti va. Por ejem plo, pa ra el se gun do cál cu lo: 320 x 30, se pue de pen sar co mo ( ) x 30 = = RESOLVER CÁLCULOS A PARTIR DE UNO CONOCIDO b) Ano tá el re sul ta do de los si guien tes cál cu los: 18 x 5 = 120 x 5 = 44 x 5 = 58 x 5 = Se espera que, a partir del problema, la clase llegue a identificar que: multiplicar por 5 es como multiplicar por 10 y dividir por 2, y esta relación se generalice a otras multiplicaciones relacionadas con aquélla, tales como:... x 50 =... x 100 : 2... x 500 =... x 1000 : 2 A par tir de es tos cál cu los, el do cen te ana li za rá con sus alum nos que: 18 x 5 = 90 y 180 : 2 = 90, 120 x 5 = 600 y : 2 = 600, et cé te ra. Los alum nos, con du ci dos por el do cen te, po drán ad ver tir una re gu la ri dad que se cum ple en es tos ejem plos: pa re cie ra que mul ti pli car por 5 es lo mis mo que agre gar un ce ro y di vi dir por 2. Se pe di rá en ton ces a los alum nos que ex plo ren si la re gla va le pa ra otros ejem plos. Lue go, se rá ne ce sa rio avan zar in ten tan do bus - car una ex pli ca ción a la re gu la ri dad des cu bier ta: si se ha ce la mi tad de diez ve - ces un cier to nú me ro, se es tá ha cien do cin co ve ces ese nú me ro. Si los ni ños no lo gran iden ti fi car es ta re la ción, el maes tro la ex pli ca rá. A tra vés de la si guien te ta rea, se bus ca ha cer fun cio nar la re gla en di fe ren - tes cál cu los. Se rá ne ce sa rio que el do cen te pres te es pe cial aten ción a los dos úl ti mos ejem plos de la actividad 5a), don de los nú me ros im pa res pue den ge ne rar ma yor di fi cul tad. Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 43
44 RESOLVER CÁLCULOS A PARTIR DE UNO CONOCIDO 5) a) Cal cu lá men tal men te: 24 x 5 = 98 x 5 = 72 x 5 = 23 x 5 = 15 x 5 = b) Cal cu lá men tal men te y ex pli cá có mo lo pen sas te: 38 x 50 = 24 x 50 = 36 x 500 = c) De a dos, pien sen si se po dría for mu lar una re gla pa ra las mul ti pli ca cio nes por 50 y por 500, y bus quen una ma ne ra de es tar se gu ros de que se cum pli rá en to - dos los ca sos. b) Cal cu lá men tal men te: 80 : 5 = 90 : 5 = 130 : 5 = 520 : 5 = c) Cal cu lá men tal men te y ex pli cá có mo lo pen sas te: 600 : 50 = 800 : 50 = : 50 = : 500 = : 500 = d) De a dos, pien sen si se po dría for mu lar una re gla pa ra las di vi sio nes por 50 y por 500, y lue go, bus quen una ma ne ra de es tar se gu ros si esa re gla se cum pli rá en to dos los ca sos. 6) a) Ano tá el re sul ta do de los si guien tes cál cu los: 30 : 5 = 70 : 5 = 120 : 5 = 340 : 5 = A par tir de 6a), el do cen te ana li za rá con sus alum nos que: 30 : 5 = 6 y 3 x 2 = 6 70 : 5 = 14 y 7 x 2 = : 5 = 24 y 12 x 2 = : 5 = 68 y 34 x 2 = 68 Se es pe ra que los alum nos des cu bran una re gu la ri dad: di vi dir por 5 un nú - me ro que ter mi na en ce ro es como sacarle el cero y multiplicarlo por 2. Ape lan do al con tex to del re par to, el maes tro po drá ex pli car que de di vi dir un cier to nú me - ro por 5 se ob tie ne el do ble que al di vi dir por 10 ese mis mo nú me ro. En b), se bus ca po ner en prác ti ca los co no ci mien tos es ta ble ci dos a par tir de las re fle xio nes sus ci ta das a pro pó si to de la re so lu ción de a). En c) y d), se apun ta a ge ne ra li zar es te re cur so a di vi sio nes por 50 y por 500, lle gan do a es ta ble cer re la cio nes del si guien te ti po: : 50 =... : 100 x 2... : 500 =... : x 2 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
45 RESOLVER CÁLCULOS A PARTIR DE UNO CONOCIDO 7) Cal cu lá men tal men te: 8) Apren di mos que la mul ti pli ca ción y la di vi - 48 x 5 = 24 x 5 = 80 : 5 = 90 : 5 = sión por 10, 100, 1.000, etc. ayu dan a re sol - ver otros cál cu los. Có mo pue den uti li zar se pa ra re sol ver men tal men te las si guien tes mul ti pli ca cio nes y di vi sio nes? 120 x 5 = 280 x 5 = 37 x 5 = 120 : 5 = 260 : 5 = 320 : 5 = a) 36 x 5 = b) 52 x 25 = c) 31 x 50 = d) 480 : 5 = e) 155 : 5 = f) 650 : 50 = g) : 25 = h) : 25 = Se gu ra men te, pa ra re sol ver es tos cál cu los, los alum nos ha brán re cu rri do a di - fe ren tes re la cio nes. Por ejem plo, pa ra 36 x 5 pue den ha ber re suel to 30 x x 5. Pe ro tam bién es pe ra mos que pue dan ape lar a re la cio nes re cien te men te iden ti fi - ca das: mul ti pli car por 5 equi va le a mul ti pli car por 10 y di vi dir por 2; mul ti pli car por 50 es la mi tad de mul ti pli car por 100; di vi dir por 5 equi va le al do ble de di vi dir por 10; es de cir, a di vi dir por 10 y mul ti pli car por 2. Estimación de cocientes 6 CON TE NI DOS n n n n Cál cu lo de la can ti dad de ci fras de un co cien te por en cua dra mien tos en tre po ten cias de 10. Es ti ma cio nes más pre ci sas del co cien te a par tir de di chos en cua dra mien tos. Uso de las re la cio nes en tre di vi den do, di vi sor, co cien te y res to. Uso de la pro pie dad dis tri bu ti va de la di vi sión res pec to de la su ma o de la res ta pa ra re sol ver di vi sio nes. Pa ra abor dar la si guien te ac ti vi dad, el maes tro de be rá ac tua li zar con los ni - ños las re la cio nes: di vi den do = co cien te x di vi sor + res to, sien do el res to ma yor o igual que ce - ro y me nor que el di vi sor. Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 45
46 ESTIMACIÓN DE COCIENTES 1) Sa bien do que: 24 x 10 = x 100 = x = x = De ci dí si: 260 : 24 da rá un nú me ro ma yor, me nor o igual a : 24 da rá un nú me ro ma yor, me nor o igual a : 24 da rá un nú me ro ma yor, me nor o igual a : 24 da rá un nú me ro ma yor, me nor o igual a Si es tas es ti ma cio nes plan tea ran al gu na di fi cul tad en un pri mer mo men to, el do cen te po drá re mi tir al con tex to de re par to pre gun tan do a sus alum nos, por ejem plo, pa ra el pri mer ca so, si se re par ten $260 en par tes igua les a 24 per so nas, ca da una re ci bi rá más o me nos que $10?; si ca da una re ci bie ra $10, cuán to di - ne ro se re par tió? De ma ne ra si mi lar, se po drá pro ce der con el res to de íte mes. Se apun ta a co men zar a iden ti fi car de qué mo do las mul ti pli ca cio nes por 10, 100, 1.000, etc. per mi ten an ti ci par la can ti dad de ci fras del co cien te de una di vi sión. A con ti nua ción, se pro po ne otro pro ble ma si mi lar pa ra que uti li cen nue va - men te es tos co no ci mien tos. ESTIMACIÓN DE COCIENTES 2) Sa bien do que: 36 x 10 = x 100 = x = x = De ci dí si: 400 : 36 da rá un nú me ro ma yor, me nor o igual a : 36 da rá un nú me ro ma yor, me nor o igual a : 36 da rá un nú me ro ma yor, me nor o igual a : 36 da rá un nú me ro ma yor, me nor o igual a ) Pa ra ca da una de las si guien tes di vi sio nes que fi gu ran en la ta bla, in di cá en qué co lum na de be ría co lo car se el co cien te. De bés com ple tar la se ña lan do si di chos co cien tes se en cuen tran en tre: 0 y 10; 10 y 100; 100 y 1.000; y Por su pues to, de be rás an ti ci par lo sin ha cer la cuen ta. 46 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
47 5.940 : : : : : : : : : 133 En tre 0 y 10 En tre 10 y 100 En tre 100 y En tre y Es te pro ble ma avan za so bre las an ti ci pa cio nes pe di das en los pre ce den tes. Se tra ta de en cua drar el co cien te en tre dos po ten cias con se cu ti vas de 10. Mien - tras que en los Pro ble mas 1 y 2 se so li ci ta ba a los alumnos que es ta ble cie ran si el co cien te de una di vi sión era ma yor, me nor o igual a una po ten cia de 10, aquí de be rán uti li zar re la cio nes si mi la res, pe ro pa ra de ci dir en tre qué po ten cias de 10 se en cuen tra el co cien te bus ca do. Po drán re sol ver se las dos pri me ras lí neas de la ta bla y dis cu tir las pa ra di fun - dir en el gru po los pro ce di mien tos uti li za dos an tes de con ti nuar con las de más di vi sio nes. Nue va men te, si la ta rea le plan tea ra di fi cul tad a al gu nos alum nos, el do cen - te po drá, por ejem plo, pa ra : 24, re mi tir a 24 x 10; 24 x 100; 24 x 1.000, y ape lar, si fue ra ne ce sa rio, al con tex to del re par to. Si el maes tro lo con si de ra ra per ti nen te, pue de ir por más pre gun tán do les a los ni ños a cuál de esas dos po ten cias de 10 se acer ca más el co cien te bus ca do. Por ejem plo, iden ti fi ca do que el co cien te en te ro de : 24 es ma yor que 100 y me nor que 1.000, es to per mi te es ta ble cer que 24 x 500 es , que re sul ta ma - yor que 5.940; lo que im pli ca que el co cien te es tá más cer ca de 100 que de ESTIMACIÓN DE COCIENTES 4) Pa ra ca da una de las si guien tes di vi sio nes, te pro po ne mos tres nú me ros. Se ña lá el más cer ca - no al co cien te y ex pli cá có mo te dis te cuen ta. a) 436 : b) : c) 738 : En es te pro ble ma, al gu nos de los nú me ros pro pues tos se eli mi nan por des - car te. Por ejem plo, pa ra el pri mer ca so, 436 : 25, el co cien te nun ca pue de ser 30 por que ya 20 x 25 = 500, que es más que 436. Por esa ra zón, 30 que da des car - ta do. Pa ra de ci dir cuál de los otros dos nú me ros es tá más cer ca del co cien te, pue de se guir se el mis mo ra zo na mien to: 10 x 25 = 250 y 20 x 25 = 500. Co mo Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 47
48 436 se en cuen tra más cer ca de 500 que de 250, en ton ces 20 de be de es tar más cer ca del co cien te de esa di vi sión. Es de cir, se re to ma aquí una pri me ra an ti ci pa ción del co cien te so bre la ba se de la mul - ti pli ca ción del di vi sor por 10, 100, y una pre ci sión ma yor a par tir de ellas. En sín te - sis, si bien es una ta rea de es ti ma ción, pre sen ta al gu nas di fe ren cias con las que los ni ños han es ta do re sol vien do has ta aho ra. Una de ellas, co mo se ña la mos, es la po si bi li dad de des - car tar al gu nos de los nú me ros ofre ci dos. La otra, es que el pro ble ma re quie re pre ci sar el en - cua dra mien to del co cien te, en in ter va los me no res que en tre po ten cias con se cu ti vas de 10. ESTIMACIÓN DE COCIENTES 5) A ve ces, pa ra ha cer di vi sio nes es útil des com po ner el di vi den do de una ma ne ra que re sul te có - mo da, es de cir, en nú me ros que den jus to al di vi dir los por el di vi sor da do. Por ejem plo, pa ra 180 : 15 es con ve nien te pen sar a 180 co mo , di vi dir ca da una de esas par tes por 15 y, lue go, su mar las: 150 : : 15 = = 12 Tam bién sa be mos que no hay una úni ca ma ne ra que re sul te con ve nien te pa ra des com po ner el nú me ro: ade más, es po si ble pen sar el 180 co mo y ha cer 90 : : 15 = = 12 ó 180 = : 15 = 120 : : 15 = = 12 et cé te ra. A con ti nua ción, te pro po ne mos una se rie de di vi sio nes. Pa ra ca da una de ellas, ele gí una ma ne - ra de des com po ner el di vi den do que fa ci li te los cál cu los: Di vi den do Di vi sor Des com po si ción Di vi sio nes Co cien te Res to del di vi den do par cia les Es tas des com po si cio nes se ba san en la pro pie dad dis tri bu ti va a de re cha de la di vi sión, res pec to de la su ma o de la res ta. En to dos los ca sos, de be rá que dar cla ro que las di vi sio nes pro pues tas por los alum nos son equi va len tes a las da das, por ejem plo, pa ra 784 : 7 es ne ce sa rio es ta ble cer que re sul ta lo mis mo re par tir (en par tes igua les) 784 en tre 7 de una so la vez, que re par tir pri me ro 700, des - pués 70 y des pués 14; et cé te ra. Co mo he mos se ña la do en otras opor tu ni da des, cuan do el do cen te se pro - pon ga tra ba jar es pe cí fi ca men te so bre las pro pie da des de las ope ra cio nes, se pue den re to mar es tas ac ti vi da des de cál cu lo men tal y su aná li sis iden ti fi can do ex plí ci ta men te có mo in ter vie ne la pro pie dad men cio na da en es tos cál cu los, y pro mo vien do una for mu la ción y una ar gu men ta ción de su al can ce ge ne ral. 48 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
49 Sistema de numeración Pagando con monedas de $1 y billetes de $10 y $100 1 CON TE NI DOS n Pro ble mas que in vo lu cren el aná li sis de las es cri tu ras nu mé ri cas en el con - tex to del di ne ro. n Di fe ren tes des com po si cio nes adi ti vas y mul ti pli ca ti vas de un nú me ro, ba sa - das en la or ga ni za ción de ci mal del sis te ma de nu me ra ción. n Aná li sis de las re la cio nes en tre las di fe ren tes po si cio nes en una es cri tu ra nu - mé ri ca. Por ejem plo, 1 de 100 equi va le a 10 de 10 ó a 10 x 10, et cé te ra. PAGANDO CON MONEDAS DE $1 Y BILLETES DE $10 Y $100 1) Un ca je ro en tre ga mo ne das de $1 y bi lle tes de $10 y de $100 an te el pe di do de los clien tes. El ca je ro siem pre en tre ga la me nor can ti dad po si ble de bi lle tes. Com ple ten el si guien te cua dro pa - ra sa ber cuán tos bi lle tes de ca da ti po re ti ró el clien te en ca da ca so. Importe solicitado Billetes de $100 Billetes de $10 Monedas de $1 $398 $204 $360 2) Un cajero entrega monedas de $1 y billetes de $10 y $100 ante el pedido de los clientes. El cajero siempre entrega la menor cantidad posible de billetes. Completen el siguiente cuadro para saber cuántos billetes de cada tipo entregó en cada oportunidad. Importe solicitado Billetes de $100 Billetes de $10 Monedas de $1 $1.538 $3.207 $7.203 $2.730 $3.270 Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 49
50 3) a) Un cajero sólo entrega monedas de $1 y billetes de $100 ante el pedido de los clientes porque se le acabaron los billetes de $10. El cajero siempre entrega la menor cantidad posible de billetes. Cómo podrían componerse las siguientes cantidades? $ $ $1.045 b) El cajero ahora sólo tiene monedas de un $1 y billetes de $10. Siempre entrega la menor cantidad posible de billetes. Cómo podrían componerse las siguientes cantidades? $ $ $ El ob je ti vo del pro ble ma 1 es que los ni ños en tren en la si tua ción. Es de es - pe rar que, al ha cer lo, los alum nos ad vier tan que las ci fras que es cri ben en ca da una de las ca si llas son las del im por te so li ci ta do. Es te he cho cons ti tui rá uno de los as pec tos que el maes tro pro pon drá ana li zar una vez que el cua dro ha ya si do com ple ta do. Una se gun da cues tión a dis cu tir con los alum nos es el he cho de que el nú - me ro por ta cier ta in for ma ción. Es de cir, uno de los ob je ti vos es que avan cen en la po si bi li dad de in ter pre tar la in for ma ción que una es cri tu ra nu mé ri ca ofre ce. Así, por ejem plo, con só lo mi rar 398 pue de sa ber se que una des com po si ción po si ble pa ra ese nú me ro es 3 x x El en co mi lla do es tá se ña lan do que esa in for ma ción pue de ob te ner la, con só lo mi rar, quien ya dis po ne de las re la cio nes que esa es cri tu ra por ta y que la mis ma in for ma ción no es vi si ble pa - ra quien to da vía no se ha apro pia do de esos co no ci mien tos. Es tas pri me ras re la cio nes son una ba se pa ra ex plo rar otras más com ple jas que po nen en jue go las re la cio nes de va lor en tre po si cio nes con ti guas, por ejem - plo, 15 x x x 1 pa ra És te es pre ci sa men te el aná li sis que se inau gu ra con el pro ble ma 2. En efec to, mien tras que en el pro ble ma 1 los ni ños han po di do dis cu tir que, en nues tro sis te ma de nu me ra ción, el va lor de las de ce nas re pre sen ta 10 uni da - des; el de las cen te nas, 100, etc., a par tir del pro ble ma 2 van a po ner en jue go las re la cio nes en tre las di fe ren tes po si cio nes: 1 de es 10 de 100; 1 de 100 equi va le a 10 de 10, y así su ce si va men te. El pro ble ma 3 a) vuel ve so bre las re la cio nes ana li za das en el pro ble ma 2 y las ex tien de al res trin gir el uso de bi lle tes de $10. En ton ces, se rá pre ci so rea li zar dos agru pa mien tos si mul tá neos que po drían re pre sen tar se con la si guien te es cri tu ra pa - ra el pri mer ca so: 32 x x 1. Pa ra ha cer es ta des com po si ción es ne ce sa rio es ta ble cer que 3 de equi va le a 30 de 100 y que 4 de 10 equi va le a 40 de 1. En la prác ti ca, es po si ble que los ni ños des cu bran que, en los tres ejem plos, las dos ci - fras de la iz quier da mues tran cuán tos bi lle tes de $100 son ne ce sa rios pa ra ob te ner la can ti dad de sea da y las dos de la de re cha, cuántas monedas de $1. La re la ción en - tre es tas re glas y la mul ti pli ca ción (32 de 100 equi va le a de cir que 32 x 100 = 3.200) no re sul ta evi den te pa ra mu chos alum nos y po drá ser ob je to de tra ba jo ex plí ci to co mo con se cuen cia de es te con jun to de pro ble mas. En otras pa la bras, de be rán apren der a ex pre sar en un cál cu lo ca da com po si ción de di ne ro con bi lle tes. 50 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
51 Pa ra que ca da pro ble ma ofrez ca real men te ele men tos pa ra abor dar el si - guien te, se rá ne ce sa rio que se va yan ex pli ci tan do las re la cio nes en jue go den tro de ca da uno de ellos. Armando números con multiplicaciones por 10, 100 y CON TE NI DOS n Pro ble mas que in vo lu cren el aná li sis y el uso de la in for ma ción que por tan las es cri tu ras nu mé ri cas. n Ex pli ci ta ción de las re la cio nes arit mé ti cas que sub ya cen a un nú me ro. n Aná li sis de las re la cio nes en tre las di fe ren tes po si cio nes en una es cri tu ra nu - mé ri ca. Por ejem plo, 1 de 100 equi va le a 10 de 10 ó 10 x 10, et cé te ra. n Aná li sis de des com po si cio nes equi va len tes de un mis mo nú me ro a par tir de mul ti pli ca cio nes por po ten cias de 10 y su mas. Los con te ni dos que se pre sen tan en es ta ac ti vi dad son si mi la res a los de la ac ti vi dad an te rior. Sin em bar go, su po nen un avan ce en el tra ba jo pro pues to ya que pre sen tan un ma yor ni vel de com ple ji dad al ha ber se re ti ra do el con tex to del di ne ro en el que los alum nos po dían apo yar se pa ra re sol ver. Es im por tan te que un mis mo con te ni do o gru po de con te ni dos se pon ga en jue go en va rias ac ti vi da des, no só lo pa ra que los ni ños ten gan nue vas opor tu ni - da des de atra par las re la cio nes in vo lu cra das que pu die ron ha ber que da do pen - dien tes, si no tam bién por que ac ti vi da des di fe ren tes per mi ten mos trar otras aris - tas de un mis mo con cep to. Por ejem plo, el pro ble ma 1 de la Ac ti vi dad 2 per mi te ana li zar que exis ten dis tin tas des com po si cio nes po si bles pa ra un mis mo nú me ro, asun to que no se evi den ció en la ac ti vi dad an te rior. En el de sa rro llo de es ta ac ti vi dad se re to man las re la cio nes es ta ble ci das en la ac ti vi dad pre ce den te y se avan za pro fun di zan do, co mo po drá ver se, en la ex - pli ci ta ción del cál cu lo que per mi te ex pre sar las des com po si cio nes. ARMANDO NÚMEROS CON MULTIPLICACIONES POR 10, 100 Y ) Indicá cuál o cuáles de las opciones que aparecen para cada número son correctas: 12 x x x x 10 1 x x x x x x x x x x x x x Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 51
52 2) Decidí, para cada descomposición, qué número se forma: a) 53 x x = b) 4 x x = c) 13 x = d) 8 x x = e) 14 x x = f) 10 x x x 10 = 3) Proponé para cada uno de los siguientes números, cuatro descomposiciones diferentes que contengan multiplicaciones con uno o varios de estos números: 10, 100, 1.000, al estilo de los cálculos del problema anterior a) b) c) Un ob je ti vo ge ne ral de la Ac ti vi dad 2 es po der sis te ma ti zar las re la cio nes que fue ron ana li za das al re sol ver la Ac ti vi dad 1. En el pro ble ma 2 de aque lla ac - ti vi dad, los alum nos tu vie ron la opor tu ni dad de dis cu tir que pa ra ar mar, por ejem plo, sin bi lle tes de 1.000, se ne ce si ta ría can jear ese bi lle te de por 10 de 100, que, a su vez, se su man a los 5 de 100 pa ra for mar 500. Una re - la ción a ex traer de ese tra ba jo es que 15 x 100 es Po si ble men te, los ni - ños ha yan usa do es tas re la cio nes sin ex pli ci tar nin gún cál cu lo pa ra sa ber cuán - tos bi lle tes de 100 se ne ce si tan, y ha yan pro pues to que siem pre (pa ra el 1.538) al can za con mi rar las dos pri me ras ci fras de la iz quier da por que son 15 de 100, o por que te nés cin co de cien que te lo di ce el nú me ro y uno de mil, que son diez de cien, en ton ces te nés quin ce, et cé te ra. Se tra ta aho ra de po ner en re la ción, de ma ne ra ex plí ci ta, es tas for mu la cio nes con las es cri tu ras ma te má ti - cas que las ex pre san. Otro as pec to im por tan te que in cor po ra la Ac ti vi dad 2, co mo de cía mos al co - mien zo de es te apar ta do, es que el con tex to de ja de ser el de los bi lle tes, pa ra fo ca li zar la ac ti vi dad di rec ta men te en el aná li sis de los nú me ros uti li za dos. Es te in ten to de des con tex tua li zar las si tua cio nes apun ta a que los ni ños pue dan re - pen sar las re la cio nes an te rio res cen tra das aho ra en el te rre no de los nú me ros. Lue go de re sol ver ca da pro ble ma, se ría in te re san te pro po ner un es pa cio de dis cu sión co lec ti va, de ma ne ra tal que las re fle xio nes que se ela bo ren, a pro pó - si to de ca da pro ble ma, pue dan uti li zar se pa ra el si guien te. Po si ble men te, en esos mo men tos los ni ños ha gan re fe ren cia a los bi lle tes, en ton ces el maes tro de be rá plan tear una com pa ra ción en tre los pro ble mas con bi lle tes y es tos cál cu los, ya que par te de la po ten cia de es ta ac ti vi dad ra di ca en es ta ble cer re la cio nes en tre am bas cues tio nes. 3 El sistema de numeración y la calculadora. Primera parte CON TE NI DOS n n Pro ble mas que in vo lu cren el aná li sis y el uso de la in for ma ción que por tan las es cri tu ras nu mé ri cas. Ex pli ci ta ción de las re la cio nes arit mé ti cas que sub ya cen a un nú me ro. 52 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
53 EL SISTEMA DE NUMERACIÓN Y LA CALCULADORA. PRIMERA PARTE 1) Ano tá en la cal cu la do ra uti li zan do só lo los nú me ros 1 y 0, y el sig no +. Có mo ha rías pa ra ano tar, del mis mo mo do, ? Y ? 2) Es cri bí en la cal cu la do ra Ha cé lue go una so la ope ra ción de ma ne ra que apa rez ca el nú me ro 863 como resultado. Sin bo rrar lo que mues tra el vi sor, rea li zá una ope ra ción pa ra que se obtenga el nú me ro 63. Sin bo rrar 63, hacé una operación para que resulte 0. 3) a) En el vi sor de la cal cu la do ra se ve el nú me ro Có mo lo grar que resulte, rea li zan do un so - lo cál cu lo, el nú me ro 9.068? b) Aho ra la cal cu la do ra mues tra Qué cál cu lo ha bría que rea li zar pa ra ob te ner 1.008? (Se pue de ha cer un úni co cál cu lo.) c) Aho ra, a par tir de 1.008, có mo ob te nés, con un so lo cál cu lo, 4.007? Qué cál cu lo ha bría que ha cer? 4) Ima gi na te el si guien te jue go. Hay que po ner un nú me ro de tres ci fras en la cal cu la do ra, y lue go em - pe zar a res tar su ce si va men te 10 (to das las ve ces que se pue da). Si se lo gra lle gar jus to a 0 res tan do so la men te de a 10, se ga na 1 pun to. Pen sá qué nú me ros ha brá que po ner pa ra es tar se gu ro de ga nar. 5) Imaginate ahora el mismo jue go, pe ro aho ra hay que es cri bir en la cal cu la do ra un nú me ro de cua - tro ci fras me nor que y res tar le 100 to das las ve ces que se pue da. Si se lo gra lle gar jus to a 0, res tan do so la men te de a 100, se ga na 1 pun to. Exis te al gu na ma ne ra de sa ber que vas a ga nar an tes de em pe zar a res tar? Los pro ble mas 1 a 3 es tán agru pa dos en tor no a la ex plo ra ción de los as - pec tos po si cio na les de las es cri tu ras nu mé ri cas y de las des com po si cio nes adi ti vas de un nú me ro. Los pro ble mas 4 y 5 vin cu lan la mul ti pli ca ción con la su ma y la res ta: pa ra ga nar es ne ce sa rio an ti ci par qué ca rac te rís ti cas de be te - ner un nú me ro al que pue da res tár se le 10 ó 100 -se gún el ca so- una can ti - dad de ve ces, pa ra ob te ner 0; ó un nú me ro que se for me su man do una can ti - dad de ve ces 10 ó 100. Es de cir, un nú me ro que pue de pen sar se co mo 10 (ó 100) por al go. Es ta vin cu la ción, en tre la ex pre sión mul ti pli ca ti va y las su - mas o res tas rei te ra das de 10 (ó 100), tie ne que ser ex plí ci ta men te es ta ble ci - da con to da la cla se. Po drán ana li zar se con los ni ños las mul ti pli ca cio nes por po ten cias de 10, pe ro, aho ra, des de una pers pec ti va par ti cu lar: el pro ble ma en es ta opor tu ni - dad per mi te pen sar que to do nú me ro que ten ga un ce ro al fi nal ya con tie ne una can ti dad en te ra de die ces. En es te sen ti do, la es cri tu ra tam bién aquí co mo en el ca so de los bi lle tes in for ma de al gu nas re la cio nes que por ta el nú me ro. Se es pe ra que las for mu la cio nes que cir cu len en la cla se al de ba - tir es tas cues tio nes con los alum nos se acer quen a: Pa ra ga nar en un nú me - ro al que hay que res tar le die ces, hay que po ner un nú me ro que ter mi ne en ce ro, por que a ese nú me ro se lo pue de pen sar co mo com pues to por una mul - ti pli ca ción de 10 por al gún otro nú me ro o, di cho de otra for ma, por una cier - ta can ti dad de die ces. Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 53
54 Qui sié ra mos tam bién ha cer un co men ta rio so bre el uso de la cal cu la do ra en es tas cla ses. Co mún men te se la uti li za pa ra pro du cir re sul ta dos. En los pro ble - mas re cién ana li za dos se bus ca que los alum nos an ti ci pen lo que van a ha cer en la cal cu la do ra y es allí don de se po ne en jue go to da la ri que za de la ac ti vi dad. Pen sar el pro ble ma, apo yar se en el co no ci mien to ela bo ra do, en es tos ca sos so - bre el sis te ma de nu me ra ción, po ner en jue go al gu nas re la cio nes y ha cer hi pó - te sis so bre su fun cio na mien to en la re so lu ción del pro ble ma. En es te sen ti do, es ne ce sa rio que, en cual quie ra de los pro ble mas plan tea dos, los ni ños in ten ten es - cri bir las po si bles so lu cio nes y des pués com prue ben el re sul ta do con la cal cu la - do ra, que con ver sen con un com pa ñe ro so bre có mo re sol ve rían el ejer ci cio y, re - cién en ton ces, uti li cen la má qui na, en un in ter jue go en tre an ti ci pa cio nes y com - pro ba cio nes. En ca so de que un alum no no rea li ce esas previsiones y ex plo re pri - me ro con la cal cu la do ra, se rá im por tan te pro mo ver lue go una re fle xión con jun - ta pa ra que pue da apro ve char el re sul ta do de su bús que da o el descubrimiento de una relación posible. Se tra ta de que in da guen te nien do en su ho ri zon te la re - so lu ción del pro ble ma que se es tá re sol vien do. Co mo he mos di cho, se bus ca que abor den el pro ble ma ha bien do ela bo ra do al gu na hi pó te sis y, a par tir de la mis - ma, in ves ti guen las re la cio nes que se sos pe chan po si bles o ver da de ras. Pa ra que los ni ños pue dan apren der a an ti ci par el re sul ta do de los cál cu - los, de be exis tir un mo men to de tra ba jo en el que la ta rea no con sis ta prin ci - pal men te en la rea li za ción de los cál cu los, si no en bus car, en tre las re la cio nes que tie nen dis po ni bles, aque llas que les per mi ten ha llar la res pues ta. En es ta fa se ex plo ra to ria de la ac ti vi dad, el maes tro alen ta rá a los alum nos a per sis - tir en la bús que da que plan tea el pro ble ma. Si los alum nos no pu die ran ape - lar a nin gu na es tra te gia, el do cen te los ayu da rá a co nec tar es ta ac ti vi dad con al gu nas de las ya rea li za das, po drá su ge rir que prue ben con otros nú me ros que re sul ten más sen ci llos, y cu yos re sul ta dos sean fá cil men te con tro la bles, o acla rar, pa ra to da la cla se, cuál es el pro ble ma que se es tá plan tean do. En sín te sis, el tra ba jo con la cal cu la do ra se or ga ni za al re de dor de dos ideas que orien tan las pro pues tas: la pri me ra es tá re la cio na da con las po si bi - li da des de an ti ci par, de pre ver el re sul ta do de un cál cu lo que to da vía no fue rea li za do; la se gun da ha ce re fe ren cia a la ca pa ci dad de la cal cu la do ra pa ra de vol ver a los alum nos de mo do in me dia to e in de pen dien te men te del do cen - te los re sul ta dos de sus an ti ci pa cio nes. 4 Descomposiciones de números que involucran la decena de mil CON TE NI DOS n Extensión de las relaciones involucradas en las escrituras numéricas a números mayores. 54 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
55 DESCOMPOSICIONES DE NÚMEROS MÁS GRANDES. EL ) a) Ya sabés que = 2 x Es cierto que = 20 x 100? Es verdad que = 200 x 10? b) Completá las siguientes multiplicaciones: = 3 x = 30 x =... x 10 El tra ba jo de es te apar ta do re to ma los con te ni dos de las Ac ti vi da des 1 y 2, y los pro fun di za. El ob je ti vo es vol ver a pen sar las re la cio nes po si bles que per mi - ten ar mar un nú me ro y las es cri tu ras ma te má ti cas que ex pre san esas re la cio - nes. En es te ca so, es po si ble apo yar se en que 2 x = 2.000, pa ra pen sar a ese nú me ro co mo 2 x 10 x 100 = 20 x 100 = 20 x 10 x 10 = 200 x 10. Es de cir, el fac tor que mul ti pli ca a la po ten cia de 10 ya no es un dí gi to cues tión que ha - bía co men za do a ser ana li za da en la Ac ti vi dad 2 pe ro, en es ta opor tu ni dad, no se pi de a los ni ños que iden ti fi quen es cri tu ras equi va len tes, si no que las pro duz - can, co mo su ce de en la par te b) del pro ble ma. Aun que los alum nos re suel van el pro ble ma men tal men te, es in te re san te ex - pli ci tar, pos te rior men te, es tas re la cio nes y la co rres pon den cia de las dis tin tas es - cri tu ras. DESCOMPOSICIONES DE NÚMEROS MÁS GRANDES. EL ) Calculá: a) 9 x = b) 9 x = c) 9 x = d) 9 x = e) 9 x = f) 9 x = Se tra ta aquí de lle gar a ar mar el a par tir de re la cio nes ya co no ci - das, por ejem plo, , y di fe ren ciar es te cál cu lo de , ó Rea li zar la mul ti pli ca ción men tal men te y de cir el nú me ro es un pro ble ma que per mi te apo yar se en la nu me ra ción oral, y re sul ta más sen ci llo que es cri bir ese nú me ro. Se ría in te re san te plan tear pri me ro es ta ac ti vi dad oral men te y, lue - go, por es cri to, de ma ne ra tal que los ni ños de ban po ner en re la ción la de no mi - na ción oral del nú me ro con su es cri tu ra. DESCOMPOSICIONES DE NÚMEROS MÁS GRANDES. EL ) a) Cuáles de los siguientes cálculos dan ? 25 x = 25 x = 25 x = b) Cuáles de estos cálculos dan ? 25 x 10 x = 25 x = 25 x 10 x 10 x = 250 x = Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 55
56 En es tos ca sos, se apun ta a com pa rar las re la cio nes pues tas en jue go en la re so lu ción de la par te a) con la par te b) de es te pro ble ma. Es ta com pa ra ción de be con cluir que 25 x se pue de pen sar co mo 25 x 10 x 100, 250 x 100, 250 x 10 x 10, x El sistema de numeración y la multiplicación y división por 10, 100 y CON TE NI DOS n Aná li sis de las re la cio nes en tre es cri tu ras nu mé ri cas y di vi sio nes, y mul ti pli - ca cio nes por po ten cias de 10. n Ex pli ci ta ción de las re la cio nes arit mé ti cas que sub ya cen a un nú me ro. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN POR 10, 100 Y ) Completá las siguientes tablas: a) Un número multiplicado por... da... Qué número es? Un número multiplicado por da... Qué número es? b) Un número multiplicado por... da... Qué número es? Un número multiplicado por da... Qué número es? c) Un número multiplicado por... da... Qué número es? Un número multiplicado por da... Qué número es? G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
57 El pro ble ma 1 plan tea una si tua ción que, en el co mien zo, po drá ser ex plo ra - to ria pa ra los alum nos. Se tra ta de en con trar un nú me ro que, mul ti pli ca do por 10, dé el nú me ro que se ofre ce en la se gun da co lum na del cua dro co mo pro duc - to. Se es pe ra que los ni ños ten gan la po si bi li dad de in ves ti gar qué re la cio nes hay en tre los nú me ros que se pro po nen y los re sul ta dos ob te ni dos pa ra que lue go pue dan for mu lar una re gla ge ne ral. Ba sa dos en la or ga ni za ción del sis te ma de nu me ra ción, los ni ños po drán pre - gun tar se cuán tas ve ces es tá con te ni do 10 en ca da uno de los nú me ros pro pues tos. En los si guien tes pro ble mas se usa la no ción de co cien te en te ro, que su po - ne la re la ción di vi den do = co cien te x di vi sor + res to. Se ría con ve nien te, an tes de co men zar, que el maes tro re vi se con sus alum nos es ta no ción a par tir de pro - po ner y ana li zar al gu nas di vi sio nes sen ci llas. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN POR 10, 100 Y ) a) Com ple tá es ta ta bla in di can do el co cien te en te ro que re sul ta de di vi dir ca da uno de los si guien tes nú me ros por 10: c) Com ple tá es ta ta bla in di can do el co cien te en te ro que re sul ta de di vi dir ca da uno de los si guien tes nú me ros por 1.000: : : b) Com ple tá la ta bla se ña lan do el co cien te en te ro que re sul ta de di vi dir ca da uno de es tos nú me ros por 100: : 100 d) Cal cu lá: : 10 = : 100 = : = : = El pro ble ma 2 de es te apar ta do tie ne co mo ob je ti vo que los alum nos pue dan ex plo rar qué re la cio nes son po si bles de es ta ble cer en tre un nú me ro da do y el co - cien te entero que se ob tie ne al di vi dir ese nú me ro por una po ten cia de 10. Las re la cio nes es ta ble ci das a raíz del pro ble ma 1 cons ti tui rán un pun to de apo yo. Ca be se ña lar que re sul ta, en el co mien zo, una ac ti vi dad de ex plo ra ción y, por lo tan to, el maes tro alen ta rá a que los ni ños uti li cen cual quier pro ce di mien to pa - ra com ple tar los pri me ros re sul ta dos de ca da ta bla. Es ta ex plo ra ción pue de in te - Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 57
58 rrum pir se cuan do los alum nos co mien zan a des cu brir cier ta re gu la ri dad en los co cien tes pa ra, lue go, dar lu gar a una dis cu sión co lec ti va so bre las ra zo nes que per mi ten es ta ble cer es ta re gu la ri dad. La idea es que los ar gu men tos que se es - gri man en es ta dis cu sión per mi tan a los ni ños an ti ci par con cer te za cuá les se rán los re sul ta dos de los ca si lle ros que aún fal tan com ple tar. Se es pe ra que los alum nos ape len a re la cio nes es ta ble ci das en ac ti vi da des an te rio res (por ejem plo, el co cien te en te ro de 35 : 10 es 3 por que 35 = = 3 x ), y/o a re la cio nes ya co no ci das (el co cien te en te ro de 38 : 10 = 3 por que 3 x 10 = 30, y si ha go 4 x 10, da 40 y ya me pa so de 38). Tam bién el maes tro pue de re cu rrir a re la cio nes en tre mul ti pli ca ción y di vi sión. Por ejem plo, si 3 x 10 = 30; 30 : 10 = 3; si 2 x 100 = 200, en ton ces 200 : 100 = 2, et cé te ra. En tér mi nos ge ne ra les, co mo se ha es ta ble ci do pa ra el pro ble ma 1, si se co no ce una mul ti pli ca ción por una po ten cia de 10 (por ejem plo, 8 x 100 = 800), tam bién se co no ce una di vi sión por esa mis ma po ten cia (por ejem plo, 800 : 100 = 8). EL SISTEMA DE NUMERACIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN POR 10, 100 Y ) a) Completá las siguientes tablas: Cálculo Cociente Resto : : : Cálculo Cociente Resto : : : Cálculo Cociente Resto : : : : b) Reunite con un compañero después de que hayas finalizado el problema anterior; discutan sobre lo que hicieron para resolver los problemas. c) Formulen una regla para obtener mentalmente el cociente entero y el resto de un número de dos o más cifras por 10, de tres o más cifras por 100, y de cuatro o más cifras por Intenten explicar por qué funciona esa regla. 58 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
59 Es te pro ble ma se apo ya en co no ci mien tos ela bo ra dos en las ac ti vi da des an - te rio res. En efec to, en la par te a), pa ra ex pli car que es po si ble sa ber que el co - cien te de : 10 es 123 y el res to 4, se pue de ape lar a 123 x 10 = y = En ton ces, = 123 x Otra ex pli ca ción posible es que los niños se apoyen en la idea de que la división por 10 puede pensarse en tér mi nos de ar mar pa que tes de a 10. De ese mo do, co mo la po si ción de las uni da des nun ca va a te ner 10, la ci fra que es té en esa ubi ca ción se rá el res to de di vi dir por 10, por que no al can za pa ra un pa que - te más. Si la di vi sión fue ra por 100, es te ra zo na mien to se ex ten de ría a las dos úl ti mas ci fras, et cé te ra. Re sul ta fre cuen te que los alum nos pro pon gan y ad mi tan es tas ex pli ca cio nes cuan do los di vi so res son 10 y 100, pe ro se des con cier ten cuan do los di vi so res son ma yo res, por ejem plo 1.000, y re cha cen la po si bi li dad de que exis tan res tos ta - les co mo 530, por que es un nú me ro de ma sia do gran de com pa ra do con los res - tos usua les. En esos ca sos, se rá ne ce sa rio re to mar las re la cio nes es ta ble ci das pa - ra nú me ros más pe que ños y ana li zar que el ta ma ño del res to só lo es tá li mi ta do por el del di vi sor. Ya es ta ble ci mos que el pro ble ma 3a) se apo ya en co no ci mien tos que fue ron ela bo ra dos en ac ti vi da des an te rio res. Ana li ce mos aho ra en qué sen ti do per mi te ha cer avan zar esos co no ci mien tos. En el pro ble ma 2 de es ta ac ti vi dad que dó es - ta ble ci da cier ta re gu la ri dad al rea li zar al gu nas di vi sio nes por po ten cias de 10. Se tra ta en ton ces de en con trar no só lo el co cien te, si no tam bién el res to de una di - vi sión, y de ex plo rar, a la vez, qué va ocu rrien do con los co cien tes cuan do a un mis mo nú me ro se lo di vi de por dis tin tas po ten cias de 10. En es te sen ti do, la re - fle xión so bre es te pro ble ma per mi ti rá pen sar un mis mo nú me ro co mo com pues to por mul ti pli ca cio nes que son equi va len tes. Por ejem plo, = 1 x ; 12 x ; 123 x Se rá in te re san te ana li zar con los alum nos qué re - la cio nes hay en tre es tas es cri tu ras, tal co mo se hi zo en la Ac ti vi dad 1. Las par tes b) y c) de es te pro ble ma es tá plan tea da pa ra que los ni ños pue dan pa sar en lim pio el con jun to de re la cio nes y co no ci mien tos que han es ta do mo vi - li zan do. En cier ta me di da es una pro pues ta que per mi te re su mir lo que se apren - dió has ta el mo men to, no só lo a tra vés de las ex pli ca cio nes que ela bo ren los ni ños, si no tam bién a par tir de las que el maes tro pue da ofre cer, de al gu na ma ne ra, or - de nan do las re so lu cio nes de sus alum nos. És te re sul ta un as pec to muy im por tan te ya que aún en los ca sos en los que los ni ños pue dan re sol ver de ma ne ra co rrec ta, no ne ce sa ria men te las re la cio nes im plí ci tas en sus res pues tas es tán es truc tu ra - das en un dis cur so or ga ni za do. Es te es, jus ta men te, uno de los atri bu tos que la en se ñan za no pue de de le gar en quien es tá apren dien do: re mar car las pro pie da - des que apa re cie ron, reor ga ni zar las ideas que cir cu la ron pa ra que to men una for ma co he ren te y sis te ma ti za da, iden ti fi car un pro ce di mien to y ana li zar lo, o ex - pli car una pro pie dad son prác ti cas que for man par te del que ha cer del do cen te y que no pue den que dar li bra das al de sa rro llo es pon tá neo de los mo men tos de dis - cu sión co lec ti va. Co mo sa be mos, la en se ñan za es un ac to com ple jo, que tam bién in clu ye ex pli ci tar sis te má ti ca y or ga ni za da men te los co no ci mien tos que se van ela bo ran do en un dis cur so co he ren te y ar ti cu la do. Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 59
60 6 El sistema de numeración y la calculadora. Segunda parte CON TE NI DOS n Ex pli ci ta ción de las re la cio nes arit mé ti cas que sub ya cen a un nú me ro. n Re so lu ción de ac ti vi da des que re quie ran usar la in for ma ción que por ta una es cri tu ra nu mé ri ca. n Aná li sis de las re la cio nes en tre es cri tu ras nu mé ri cas, y di vi sio nes y mul ti pli - ca cio nes por po ten cias de 10. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN Y LA CALCULADORA. SEGUNDA PARTE 1) a) Qué nú me ros apa re ce rán en el vi sor de la cal cu la do ra si se opri men las si guien tes te clas: 14 x 10 x 10 x 10 =? b) Y si se aprie ta una vez más x 10? c) Y si se aprie ta dos ve ces más x 10?, có mo se es cri bi ría ese nú me ro? d) Có mo se lla ma ese nú me ro? Es po si ble sa ber lo an tes de rea li zar los cál cu los? 2) Qué nú me ros van apa re cien do en el vi sor de la cal cu la do ra si se opri men las si guien tes te clas: : 10 : 10 =? Y si se aprie ta una vez más : 10? Es po si ble sa ber lo an tes de rea li zar los cál cu los? 3) Des pués de ha cer to dos es tos cál cu los en la cal cu la do ra, cuál creés que se rá, en ca da ca so, el nú - me ro que apa re ce rá fi nal men te en la pan ta lla? Es cri bi lo an tes de rea li zar los cál cu los y des pués com - pro bá con la má qui na. a) 34 x 10 x 10 : 10 x 10 = b) 120 x 10 : 10 : 10 = c) 54 x 10 x 10 : 100 = 4) Ano tá un nú me ro en la cal cu la do ra de mo do que, al di vi dir lo por 10, dé jus to (es de cir que, en el vi - sor, no apa rez ca un re sul ta do con co ma). Qué ca rac te rís ti ca de be te ner el nú me ro que eli jas pa ra es tar con ven ci do de que vas a ob te ner la res pues ta de sea da? 5) Es cri bí un nú me ro en la cal cu la do ra de tal ma ne ra que, al mul ti pli car lo por 10 x 10 x 10, se ob ten - ga un nú me ro de cua tro ci fras. Qué nú me ros per mi ten re sol ver es te pro ble ma? Si qui sié ra mos que tu vie ra cin co ci fras, qué nú me ros per mi ten re sol ver es te pro ble ma? 6) Co lo cá un nú me ro en la cal cu la do ra de mo do que, lue go de di vi dir lo por 10 dos ve ces con se cu ti vas, dé un nú me ro sin co ma. Qué ca rac te rís ti ca de be te ner el nú me ro que eli jas pa ra es tar se gu ro de que ob ten drás la res pues - ta bus ca da? 60 G.C.B.A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Educativo Dirección de Currícula y Enseñanza
61 Los pro ble mas que com po nen es tas ac ti vi da des con la cal cu la do ra se vin cu - lan con los efec tos de mul ti pli car y/o di vi dir un nú me ro por 10, 100 ó Sin em bar go, pre sen tan al gu nas di fe ren cias en tre ellos. Así, los pro ble mas 1 y 2 ape lan a los re sul ta dos que se van ob te nien do cuan do, a un mis mo nú me ro, se lo mul ti pli ca o di vi de rei te ra da men te por 10. El pro ble ma 3 in ten ta que el aná - li sis se orien te ha cia los efec tos de apli car su ce si va men te mul ti pli ca cio nes y di - vi sio nes por 10 a un mis mo nú me ro y po der dis cu tir re la cio nes ta les co mo si se mul ti pli ca un nú me ro por 10 y lue go se di vi de el re sul ta do por 10, se ob tie ne el nú me ro ori gi nal por que am bas ope ra cio nes se com pen san en tre sí. El úl ti mo ca so de ese pro ble ma (54 x 10 x 10 : 100) per mi te ex ten der el aná - li sis ha cia la idea de que ese 100 se pue de pen sar co mo 10 x 10; en ton ces, si se mul ti pli ca a 54 x 10 x 10 y lue go se lo di vi de por 10 x 10, el re sul ta do fi nal ne - ce sa ria men te se rá el nú me ro ori gi nal, por que se lo mul ti pli có y di vi dió por el mis mo nú me ro. Los pro ble mas 4 a 6 en cie rran una com ple ji dad di fe ren te, por que ya no se pi - de ana li zar có mo se va mo di fi can do un nú me ro da do, si no que aho ra es ne ce sa - rio an ti ci par las ca rac te rís ti cas que de be te ner un de ter mi na do nú me ro pa ra cum - plir las con di cio nes que plan tea la si tua ción. Los pro ble mas 5 y 6, por ejem plo, per mi ten re to mar al gu nos co men ta rios que ya hi ci mos a pro pó si to de la pri me ra par te del tra ba jo con cal cu la do ra: pa ra pro po ner un nú me ro que, al di vi dir lo por 10, dé jus to (pro ble ma 4), es ne ce sa rio pen sar que ese nú me ro ya ten ga una mul - ti pli ca ción por diez aden tro. Los úni cos nú me ros que cum plen es tas con di cio - nes son los ter mi na dos en ce ro. És te es un pun to de vis ta dis tin to del he cho de que, al mul ti pli car por 10, agre go un ce ro: aho ra se pue de in ter pre tar que un nú - me ro que ter mi na en ce ro ya fue mul ti pli ca do por 10; por lo tan to, al di vi dir lo por 10, da rá jus to. Aportes para la enseñanza Escuela Primaria MATEMÁTICA. Cálculo mental con números naturales. Segundo ciclo 61
62 Se terminó de imprimir en Agosto de 2011 en Melenzane S.A.
63 Segundo ciclo Aportes para la enseñanza Escuela Primaria
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