text:
Qabiyyee Fuula
BOQONNAA 1 1
Seenaa Istaatistiksii fi Dhiiyeessa Daataa 1
1.1. Seenaa Istaatistiksii 1
1.1.1. Hiikoolee Istaatistiiksii 2
1.1.2 Gosoota Istaatistiiksii 4
1.1.3 Faayidaalee Istaatistiiksii 4
1.1.4 Hanqinoota Istaatistiiksii 5
1.2. Maloota Daataan ittiin Dhiyaatu 8
1.3 Daataa histoogiraamii fi baargraafiin fayyadamuun dhiyeessuu 21
1.4. Chaartii Paayii (pie chart) 24
BOQONNAA 2 30
SAFARTOOTA HANDHURAA 30
2.1 Gatii giddu galaa ( Mean) 31
2.2 Gatii gidduu (Median) 36
2.3 Gatii marmaartuu (Modal value) 48
BOQONNAA 3 54
SAFARTOOTA MAQIINSAA FI KANNEEN BIROO 54
3.1 Reenjii fi maqiinsa giddu galaa 55
3.2 Vaariyaansii fi Maqiinsa sirrii (Variance and standard deviation) 60
3.3 Amaloota Vaariyaansii/maqinsa/ fi maqiinsa sirrii 63
3.4 Maxxantuu Vaariyaansii (CV) 64
BOQONNAA 4 68
Carraa Ta’umsaa (sa’aa 16hrs) 68
4.1 Seerota lakkaa’uu 68
4.2. Carraa Murteessuu 72
4.3. Hiikoo carraa ta’iilee ba’ii walfakkaataa qabanii. 75
4.4. Amaloota carraa ta’iilee/Properties of Probability of an Event/ 75
Kitaabilee Wabii 88
Mata duree koorsichaa: Seensa Istaatistiksii
Kooddii koorsichaa: Math272
Credit hours: 2
Contact hour: 3
Koorsichi kan kennamu:- Barattoota Generaalistiif ta’a.
Barbaachisummaa( Raashinaalee):
Dhalli namaa sochii guyyaa guyyaatti godhu keessatti yaada bu’ura istaatistiksii bal’inaan itti fayyadama. Kanaafuu leenjifamtootni yaada bu’ura koorsii kanaa akka qabaatanii fi fuula duratti hojiisaanii keessatti akka itti fayyadaman isaan taasisa. Kana jechuun, koorsiin kun leenjifamtootni odeeffannoo manneen barnoota adda addaa seeraan akka qabatan isaan taasisa.
Ibsa koorsichaa
Seensi istaatistiksii kun kan qophaa’e barsiisotni bakka hojii isaanii fi jireenya isaanii keessatti odeeffannoo akkamitti akka qabatanii fi qindeessan akka isaan qopheessuuf kan qophaa’e dha. Irra caalaatti yaada bu’uraa odeeffannoo istaatistiksii ibsituu fi yaada salphaa carraa sassaabamee fi yaada bu’ura odeeffannoo sassaabuu, qindeessuu, dhiyeessuu, safara handhuuraa fi safara faca’insaa akka baran isaan taasisa.
KAAYYOOLEE KOORSICHAA
Kaayyolee
Kaadhimamtootni barsiisotaa koorsii kana erga baratanii (xumuranii) booda.
Maalummaa fi seenaa Istaatistiiksii ni ibsuu.
Ibsa tuuta ba’iilee ta’uu danda’anii “population” fi fankishinii tuuta baa’iilee ta’uu danda’anii “population function” ni kennuu
Yaadota kanneen akka ‘agarsiistuu gatiiwwan jijjiiramaa tokkoo fi deddeebi’insa tokkoon tokkoo gatiiwwan kanaa ni hubatu.
Fankishinii tuuta daataa walii galaa kenname tokkoof gabatee agarsiistuu gatiiwwan jijjiiramaa fi deddeebiinsa ni hojjetu.
Fankishinii tuuta daataa walii galaa tokkoo giraafiin ni agarsiisu.
Safaroota handhuraa fankishinii tuuta daataa walii galaa tokkoo ni barbaadu.
Fankishinii tuuta daataa walii galaa tokkoof gatii giddu gala (‘arthimetic mean’) , gatii gidduu (‘median’) fi gatii marmaartuu (‘mode’) ni barbaadu.
Hiika safaroota tamsa’inaa ni kennu.
Fankishinii tuuta daataa walii gala kenname tokkoof maqiinsa iskuweerii (‘variance’), maqiinsa sirrii (‘standard deviation’), reenjii (‘range’) fi maqiinsa giddu galaa ni shallagu.
Carraa ta’iinsa waan tokkoo lakkoofsaan ni ibsu.
Ibsama istatistiiksii jiruu jireenya isaanii keessatti itti ni fayyadamu.
Cita-tuuta tuuta ta’iinsaa (event’) ni barbaadu.
Yaalii tokkoof tuuta ta’iinsaa (‘sample space’) ni ijaaru.
Gochoota adda addaa hojjechuu keessatti maloota lakkaa’uu tti ni fayyadamu.
Agarsiistuu gatiiwwanii fi faca’iinsa caraa isanii ni ibsu.
BOQONNAA 1
Seenaa Istaatistiksii fi Dhiiyeessa Daataa
Kaayyolee:
Kaadhimamtootni barsiisotaa boqonnaa kana erga barataniin booda:
Seenaa istaatistiiksii ni himu.
Hiikoo istaatistiiksii ni kennu.
Gosoota istaatistiiksii ni tarreessu.
Faayidaalee istaatistiiksii ni himu.
Seenaa Istaatistiksii
Istaatistiiksiin gosa qorannoowwan umurii dheeraa qaban keessatti kan ramadamu ta’ee faayidaalee irraa argamaa turan garuu haala yeroo ammaa kana osoo hin ta’iin baay’ee muraasa turan. Faayidaalee istaatistiiksiin kennaa ture keessaa kanneen ijoo ta’an kan akka odeeffannoo waa’ee ummataa (population), du’aa fi dhalootaa (births and deaths),(gibiraa (taxes) fi kkf galmeessuun olkaa’uun hojiiwwan baratamoo (traditional) mootummootaa (governments) ti. Biyyoota yeroo durii ammayyuummaan beekamoo ta’an kanneen akka misiraa (‘Egypt’), chaayina fi Giriikii keessatti hojiin ummata lakkaa’uu (‘census of population’) akka gaggeeffamaa ture seenaan ni ibsa.
Maddi jecha ‘statistics’ jedhu jecha Xaaliiyaanii ‘statista’ jedhu yemmuu ta’u hiikni isaas nama biyyichaa ‘‘state-man’’ ykn jecha Jarmanii ‘statistik’ jedhu yemmuu ta’u hiikni isaas biyya tokkoo ‘‘a political state’’ jechuu dha. Akka Kinfee Abrahaa Gabra-Ingizzaabeer (2002)tti jechi ‘‘statist’’ yeroo jalqabaaf afaan Ingliizii keessatti kan mul’ate yeroo dargaggummaa Sheekispiirii yemmuu ta’u hiikni isaas nama dhimmoota biyyaa tiin beekamoo ta’e ‘‘a person knowledgable in state affairs’’ jechuu dha. Turtii keessa jechi istaatistiiksii ‘‘statistics” jedhu saayinsii daataa dhimmoota biyyaa tiif barbaachisu ykn dhimmoota hawaasaa tiif barbaachisu funaanuu, qindeessuu, dhiyeessuu fi / ykn qaaccessuu ta’aa dhufeera.
Haalaa kanaan jecha kana akka gosa barnootaatti bara 1749 kan yeroo jalqabaaf itti dhimma bahe ‘‘professor Gottfried Achenwall’’ jedhamu yeemmuu ta’u “saayinsii siyaasaa kan biyyoota baayee” (the political science of several countries’’ jechuun hiika kennee ture (kinfee, 2002). Istaatistiiksiin gosa barnoota (‘‘disciplins’) adda addaa lama irraa burqe. Isaanis barnoota waa’ee taphoota milkii (‘games of chance’) fi barnoota waa’ee biyya tokkoo (political state’) ti. Inni duraa yaad-rimee milkii (‘chance’) fi carraa (‘probability’) tiin kan wal qabate ta’uu isaa kan agarsiisu yemmuu ta’u inni itti aanu immoo kan daataa walitti qabame tokko ilaallatu dha. Saayinsiin istaatistiiksii burqaalee lama irraa madde.
i. Galmeewwan mootummaa fi
ii. Herrega dha.
Gocha 1.1
Himootni armaan gadii sirrii ta’uu fi dhiisuu isaanii gareen erga irratti mariyataniin booda yaada irratti walii galtan ibsa wajjin dareef dhiyeessi.
Istaatistiiksiin dame fayyadaa Herrega “applied mathematics” ti.
Jalqaba irratti istaatistiiksiin akka saayinsii mootiiwwaniitti “science of kings” ilaalama ture.
Faayidaalee istaatistiiksiin saayinsiiwwan biro keessatti qabu gareen kitaabilee wabii adda addaa dubbisuun dareef gabaasa dhiyeessi.
Faayidaalee istaatistiiksiin jireenya dhala namaa guyyaa-guyyaa keessatti qabu gareen irratti mariyachuun yaada walii gala dareef dhiyeessi.
Hiikoolee Istaatistiiksii
Hiikni istaatistiiksii beektota adda addaa tiin kenname kan adda addummaa fi baayina qabu haa ta’u malee istaatistiiksiin gosoota hiikoo adda addaa lama qabaachuu akka dandanda’u hiikoowwan beektotni adda addaa yeroo adda addaa kennan irraa hubachuun ni danda’ama. Beektotni hammi tokko istaatistiiksii bifa dacha (baay’uummaa) (‘plural’) ta’een yemmuu hiikanu (karaa daataa istaatistiiksiin ilaaluun ) kanneen biroo immoo bifa baaqqee (‘singular’) ta’een ni hiiku.
Istaatistiiksii bifa baay’ee ta’een
Hiikoo 1.1.
Istaatistiiksiin bifa baay’ee ta’een yoo fudhatamu kan dhugaa’wwan lakkoofsaan ibsaman ‘numerical facts’ lakkoofsota ykn daataawwan waliin kan wal-gitu dha. Kanaafuu Istaatistiiksiin, walitti qabama dhugaawwan lakkoofsaan ibsaman, galma diriirfame tokkoof jecha kan malaan funaanaman, kan haala walitti dhufeenya isaanii tiin ibsaman, kan sadarkaa fi yuuniitii sirrummaa barbaadameen safaraman yookiin tilmaamaman, fi kan bu’aa sababoota (hirmaattoota) adda addaa ta’ani dha.
Istaatistiiksii bifa baaqqee ta’een
Hiikoo 1.2.
Hiikni istaatistiiksiin bifa kanaan qabu hiika ammayyeessa ta’e dha. Kunis istaatistiiksiin dame barnoota Herregaa ta’ee kan waa’ee malootaa fi tooftaaleewwan funaana, qindeessa, dhiyeessa, qaaccessa fi kenna hiika daataalee lakkoofsaan ibsamanii qo’atu dha.
Gocha 1.2.
Hiikoowwan lamaan armaan olii keessatti maalummaa jechoota jala sararamanii gareen erga irratti mariyataniin booda fakkeenya waliin gabaasa dareef dhiyeessi.
Haala hiikoowwan armaan olitti (hiikoo 1.1 fi hiikoo 1.2) kennamaniin himootni armaan gadii akka fakkeenya himoota istaatistiiksiitti fudhatamuu dadnda’uu fi dhiisuu isaani addaan baasuun dareef ibsi.
Itoophiyaan guddina diinagdee ariifachiisaa galmeessisaa jirtii
Caalaan hiriyyoota isaa dheerinaan ni caala.
Umuriin Iftuu waggoota 21 dha.
1.1.2 Gosoota Istaatistiiksii
Istaatiiksii haala waliigalaatiin dameewwan lamatti qoodamuun ilaalamuu ni danda’a.
Istaatistiiksii ibsiituu “Descriptive statistics”
Istaatistiiksii Infaranshaalii ‘inferential statistics” jedhamu.
Istaatistiiksii ibsituu/Descriptive statistics/.
Yeroo mara qaaccessi istaatistikawaa tuuta daataa kennamu tokko irraa ka’uun ni raawwatama.
Fakkeenyaaf, reetiin hojii dhabiinsa lamiilee omisha qonnaa gosa midhaaniitiin, faca’insa buufataalee fayyaa fi kkf qaama ilaallatuun ibsamuu ni danda’a. kanaafuu istaatistiiksiin daataalee kana ibsuu, cuunfuu fi qaaccessuuf ni tajaajila. Gosti istaatistiiksii kan daataa tokko ibsuu fi qaaccessuuf itti dhimmi bahamu istaatistiiksii ibsituu jedhama.
Istaatistiiksii infaranshaalii
Istaatistiiksii ibsituun kan xiyyeeffatu waa’ee ibsaa (description) fi cuunfaa (summarization) daataa irratti dha. Haata’u malee istaatistiiksii keessatti kan barbaadamu odeeffannoo waa’ee miseensota tuuta walii gala hundaa argachuudha. Yoo miseensotni tuuta wali gala baay’ee ta’an tokkoon tokkon miseensotaa qo’acuuf humnaa ol ta’a. Fakkeenyaaf waa’ee limmiilee biyyaa tokkoo hunda, waa’ee qulqullina meeshaalee warshaa tokkoon waggaa tokkoo keessatti omishamanii fi kkf hunda isaanii qo’achuuf humna, yeroo fi maallaqa baayee kan gaafatu ta’a.
Haala akka kanaa irratti waa’ee miseensota tuuta waligalaa baruuf cita tuutaa tuuta wali galaa muraasa qu’achuun odeeffannoo waa’ee miseensota tuuta wali galaa tilmaamuun ni danda’ama. Gosti istaatistiiksii kan argannoo iddattoo irraa ka’uun kan miseensota tuuta waliigalaa hundaaf tilmaamuuf itti dhimma baanu istaatistiiksii infaranshaalii jedhama.
1.1.3 Faayidaalee Istaatistiiksii
Yeroo durii istaatistiiksiin akka meeshaa ykn saayisii mootummaa qofaatti fudhatama ture kanuma iraa kan ka’e waa’ee yakka adda addaa, waa’ee cimina hoomaa waraana biyyaa, waa’ee ummataa, waa’ee qabeenyaa fi kkf irratti odeeffannoo funaanuuf tajaajila ture. Haata’u malee yeroo keessa tajaajilli istaatistiiksii gara hawwaasaa fi diinagdeetti addunya mara irratti babal’achaa deemeera. Itti dabalataanis guddina (dagaagina) tooftaalee istaatistikawaa irraan kan ka’e istaatitiiksii akka meeshaa daataan ittiin funaanamu qofatti ilaalamu irra darbee akka tooftaa itti daataan qindaa’uu, qaacceffamuu fi yaadotni faayida qabeessa ta’an kan murtee kennuuf barbaachisan daaticha irraa itti argaman ta’ee dhufeera. Kunis kan agarsiisu istaatistiiksiin tajaajiltuu mootumma qofa ta’uu irra darbuun saayinsiiwwan hundaa keessatti faayidaa guddaa kan qabu ta’uu isaati.
Haaluma walii gala ta’ee faayidaalee istaatistiiksii saayinsiiwwan biroo keessatti qabu haala armaan gadii tiin ilaaluun ni dandeenya.
Qonnaa keessatti
Qo’annoo fi qorannoo, qonnaan wal qabate maloota istaatistikaalii tiin ala gaggeessuun tasa hin yaadamu. Dameen istaatistiiksii dhimma kanaaf tajaajilu baayoomeetirii (Biometery) jedhama.
Karoorsuu keessatti:
Dhaabbileen kamiyyuu (Mootummaa, miti mootummaa, Daldalaa, Bizinasii ….)hojii bu’a qabeessa ta’e hojjechuu fi imaammata qopheessuuf hojiin isaanii kan duraa karoora qopheessuu ta’a. Kanas galmaan gahuuf daataan istaatistikaalii kan omishaan, fedhiin, gatiin, invastimentiin galiin, baasiini fi kkf wal qabate fi malli istaatistiikaalii baayee barbaachisaa dha.
Gocha:1.3. Istaatistiiksiin saayinsiiwwan armaan gadii keessatti qabu hiriyoota kee waliin qaama ilaallatu gaafachuun gabaasa dhiyeessi.
Biizinasii
Manaajimantii
Industirii
Inshuraansii fi
Saayinsii meedikaalaa keessatti
1.1.4 Hanqinoota Istaatistiiksii
Istaatistiiksiin saayinsii hunda keessatti faayidaalee hedduu qabaatuyyuu hanqinoota adda addaa irraa guutumaan guututti bilisa miti. Hanqinoota istaatistiiksii keessaa Kan ijoo ta’an kanneen armaan gadii ti.
Istaatistiiksiin qulqullina waan tokkoo kallattiin hin qo’atu.
Gocha: 1.4. Ulaagaalee wantootni (amalootni wantootaa) armaan gadii ittiin safaraman yoo jiraatan dareef ibsi.
Hiyyumma (poverty) yookaan welfare (durummaa)
Bareedina (beauty)
Amanamummaa (honesty)
Fayyummaa (health)
Istaatistiiksiin wantoota tokko tokkoon hin qo’atu.
Seerotni istaatistiiksii kan murta’aani miti
Istaatistiiksiin haala hin taaneen hojii irra ooluu ni danda’a.
Gocha: 1.5. Hanqinootni istaatistiiksii armaan olii (b) hanga (d) tti tarreeffaman maal jechuu akka ta’e fakkeenyaan ibsi.
Cuunfaa
Jalqabni istaatistiiksii kan kaayyoo mootummaatiin wal qabate haata’u malee, yeroo ammaa gochoota ilma namaa hunda keessatti kan bakka guddaa qabudha.
Jechi istaatistiiksii jedhu kan yaad rimeewwan lama qabu yoo ta’u, isaanis:
Safaroota daataa fi
Maloota qaaccessa dataa tiin Kan ibsu dha.
Istaatistiiksiin gosoota lama qaba. Isaanis:
Istaatiiksii ibsituu fi
Istaatiiksii intaferanshaalii jedhamu
Istaatistiiksiin akkuma cimina qabu hanqiinootas ni qaba.
Gilgaala 1.1
Hubannoo barnoota boqonnaa kana irraa argatte irraa ka’uun tarmootni armaan gadii maal jechuu akka ta’an dareef ibsi.
Daataa
Tuuta walii gala ‘population’
Iddattoo/cita-tuuta walii gala ‘sample’
Daataa lakkaa’amu ‘discrete data’.
Daataa itti fufaa “continuous data”
Jijjiiramaa “variable”
Istaatistiiksii ibsituu “descriptive statistics”
Jijjiiramoota qulqullinaa“qualitative variables”
Jijjiiramoota baayinaa “quantitative variables”
Himoota armaan gaditti kennaman keessaa kan istaatistiiksii ibsituu tiif fakkeenya hin taane kam akka ta’e sababa wajjin dareef ibsi.
Dalagni yakkaa kan bara darbee irra 15% dabalee jira.
Itoophiyaa keessatti mindaan giddu gala barsiisaa tokkoof waggaatti kafalamu qarshii 8,400.00 dha.
Barattoota sagantaa qophaa’inaa barachaa jiran keessaa kan barnoota olaanaatti darbanu 50% hin caalanu.
Dheerinni giddu gala barattoota daree A 1.68m dha.
Dameewwan istaatistiiksii beektu tarreessuun walitti dhufeenya ykn garaagarummaan dameewwan kanneen giddun jiru maal akka ta’e ibsi.
Jijjiiramoota armaan gadii keessaa tokko kan gatiin isaanii lakkoofsa hundaa tiin ibsamuu hin dandeenye isaan kami? Filannoo kee tiif sababa kenni.
Baayina namoota kutaa tokko keessa jiranu;
Safara dheerinaa kaadhimamtoota barsiisota dubaraa kolleejjii tokko keessatti barachaa jiran;
Baayina hanqaaquu kachoo keessa jiranu;
Safara ulfaatin kaadhimamtoota barsiisotaa garee Istiriimii tokko kessattibarachaa jiranu.
Kanneen armaan gadii keessaa kan gochoota Istaatistiiksii ibsituu keessatti hin ramadamne kami? Deebii kee tiif sababa quubsa ta’e fi mala itti gochi kun raawwatamu dhiyeessii
Daataa funaanuu.
Daataa qindeessuu fi giteessuu (‘classification’)
Daataa dhiyeessuu.
Daataa qaaccessuu.
Daataa irratti hundaa’uun yaada furmaataa sirrii ta’e haala walii gala ta’een dhiyeessuu.
Maloota Daataan ittiin Dhiyaatu
Daataan kaayyoo qorannoo tokko galmaan gahuuf barbaachisu tokko erga funaanamee gulaalameen booda salphaatti akka hubatamuuf mijatutti maloota adda addaatiin dhiyaachuu danda’a. Haalota daataan ittiin dhiyaachuu danda’u keessaa kan ijoo ta’an:-
Daataa bifa danaa fi giraafiin dhiyeessuu
Daataan funaaname tokko odeeffannoon irraa barbaadamu akka salphaatti irraa hubatamuu danda’u taasiisuuf maloota gargaaran keessaa kanneen biroo daaticha giraaffiin ykn danaan dhiyeessuu dha.
Danaaleen daataa diskiriitii ta’e dhiyeessuuf yoo mijatanu giraaffiileen immoo daataa ittifufaa ta’e dhiyeessuuf mijaa’oo dha. Walumaa galatti giraafiilee fi danaaleen daataan tokko ittiin dhiyaatu beekamoo ta’an kanneen armaan gadii ti.
A) Daataa fakkiin ibsuu/pictogram representation of data/
Yeroo tokko tokko fakkiiwwan xixiqqaa dhiyeessuuf fakkiiwwan sana bakka sarara olee buusuun fayyadamuu dandeenya. Haalli kunis daataa danaa fayyadamuun dhiyeessuu jedhama. Walummaa galatti sarara oleetiin Kan walfakkaatu ta’ee bakka sarara olee fakkiiwwan xixiqqaa bakka buusuu dha.
Danaa 1.1
Gabatee deddeebi’insaatti Fayyadamuun dhiyeessuu
Kunis daataa kenname tokko akkuma jirutti jijjiiramaa tokkoof deddeebi’insa isaa ibsuun ykn daaticha gareewwan ykn intarvaalota adda addaatti qooduun baayina jijjiiramtootaa intarvaalii ykn garee kenname keessatti argaman ibsuun ta’a.
Fakkeenya 1. Daata baayina daa’imman maatii 20 armaan gadiitti ibsame gabateen agarsiisi. 0, 2, 3, 1, 1, 3, 4, 2, 2, 1, 0, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 0, 3, 4
Furmaata
Baayinni jijjiiramtoota daataa kanaa xiqqaa waan ta’eef, daataa kana osoo hin gareessin gabateen agarsiisuun ni danda’ama.
Baayina daa’immanii (x) Deddeebi’insa (f)
0 3
1 4
2 6
3 4
4 3
Ida’ama 20
Gabatee 1.1
Hubaachiisa
Daataa armaan baayina daa’immanii ibsuuf jijjiiramaa X akkasumas deddeebi’insa jijjiiramaa X ibsuuf immoo jijjiiramaa f bakka bufaman.
Gabateen armaan olii kun gabatee dedeebi’insa jedhama.
Fakkeenya 2. Daataa firii barattoota 200 armaan gadii gabateen ibsi.
70 45 33 64 50 25 65 75 30 20
55 60 65 58 52 36 45 42 35 40
51 47 39 61 53 59 49 41 15 53
42 63 78 65 45 63 54 52 48 46
57 53 55 42 45 39 64 35 26 18
41 53 48 21 28 49 42 36 41 29
30 33 37 35 29 37 38 40 32 49
43 32 24 38 38 22 41 50 17 46
46 50 26 15 23 42 25 52 38 46
41 38 40 37 40 48 45 30 28 31
46 40 32 34 44 54 35 39 31 48
48 50 43 55 43 39 41 48 53 34
32 31 42 34 34 32 33 24 43 39
40 50 27 47 34 44 34 33 47 42
17 42 57 35 38 17 33 46 36 23
42 21 51 37 42 37 38 42 49 52
38 53 57 47 59 61 33 17 71 39
44 42 39 16 17 27 19 54 51 39
43 42 16 37 67 62 39 51 53 41
53 60 37 27 29 33 34 42 22 31
Daataan haala armaan olitti kenname daataa hin gareeffamne (raw data) jedhama. Daataan hin gareeffamne kun akkuma kenname kanatti salphaatti hubachuuf nama rakkisa.
Daataa kana hubachuuf akka tolutti tooftaalee lamaan armaan gadii gargaaramna.
Guddaa irraa gara xixqqaatti tarreessuu.
Xiqqaa irraa gara guddaatti tarreessuu.
Daataan bifa kanaan tarreeffame daataa tarreeffame (arrayed date) jedhama. Gabtee kana ijaaruuf malli mijaa’aa ta’e, daaticha osoo hin gareessine, deddeebi’insa jijjiiramtootaa lakkaa’uun ibsuu ta’a. Kana raawwachuuf mallattoo taalii (Tally-marks) itti fayyadamuuna. Hojii kanas kan jalaqabnu gabatee ijaaramu keessatti irraan gadee 1ffaa keessatti gatii jijjiiramaa erga barreessineen booda irraan gadee itti aanu keessatti taalii (/) kaa’uun ta’a.
Mallattoon taalii wantoota lakkaa’uuf gargaara. Mallattoon kunis sararoota olee xixiqqoo tokko tokkoon isaanii ramaddii tokko bakka bu’u.Fakkeenyaaf tokkoof / ,
lamaaf / / ,sadiif / / / , fi afurif / / / / hojjechuun itti fayyadamna. Mallattoon taalii 5ffaa
yeroo mara kanneen arfani qaxxaamuruun akka / / / / mul’ifama. Kunis walitti qabama
shanii daataa waliigalaa keessa jiruu salphaatti lakkaa’uuf gargaara.
Fakkeenyaaf safarri tokko yaalii tokko keessatti si’a torba yoo irra deddebi’ee argame
bifa / / / / / / tiin mul’ifama. Golee kana keessatti mallattoo taaliitti fayyadamuun daataa
funaanuu baratta. Kanas hubachuuf akka sigargaaruuf gocha armaan gadii hojjadhu.
Taalii kaa’ame kana shan shaniin gareessuun (taaliiwwan olee ta’an afurii fi tokko afran irra saarbii kaa’uun) bifa ///// yookaan tiin ta’a.
Kunis haala armaan gadiitiin raawwatama.
Firiiwwan Taaliiwwan Deddeebi’insa Firiwwan Deddeebi’insa Deddeebi’insa
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41 l l
l l
l l l l l
l
l
l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l l
l l
l l l
l l l
l l l l
l l l l l
l l l l l l l
l l l l l l l
l l l l l
l l l
l l l l l l l
l l l l l l l l
l l l l l l l l l
l l l l l l
l l l l l l l 2
2
5
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
2
3
3
4
5
7
7
5
3
7
8
9
6
7
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68 l l l l l l l l l l l l l l
l l l l l
l l l
l l l l l
l l l l l l
l l l l
l l l l l l
l l l l
l l l l l
l l l l
l l l l
l l l l l l l l
l l l
l l l
l l l
l
l l l
l
l l
l
l l
l l
l l l
l
l l
l
l 14
5
3
5
6
4
6
4
5
4
4
8
3
3
3
1
3
1
2
1
2
2
3
1
2
1
1
Gabatee 1.2
Haata’u malee daataa kana keessatti jijjiiramtootni jiranu gatiilee wal irraa fagaataa (reenjii guddaa) waan qabaniif haala armaan oliin daataa kana dhiyeessuun mijaa’aa miti.
Kanaafuu daataa kana jijjiiramtoota tokko tokkoon tarreessuu irra bifa gareetiin yoo qindeessinee gareewwan tokko tokkoof deddeebi’insa isaan qabaniin yoo ibsine gabatee armaan olii irra kan fooyya’e argachuu ni dandeenya.
Kana raawwachuuf dura daataa kenname kutaalee ykn gareewwan adda addaatti qooduun jalqabda. Kunis kan raawwatamu reenjii gatiiwwan jijjiiramtootaa kutaalee mijaa’oo ta’anitti erga qoodneen booda baayina jijjiiramtootaan (observations) kutaalee keessatti hammatamaniin ibsuun ta’a. Reenjii daataa armaan olii = 78 – 15 = 63 ta’a. Reenjii kanas gareewwan hammi walirraa fageeny kutichaa 5 ta’etti yoo qoodne jechuun 63÷5=13 ta’a.
Kanaafuu gareewwan 13 Kan hammi isaanii 5 ta’e argana jechuu dha. Kanuma irraa gabatee deddebi’insaa gatiiwwan gareeffamanii (Grouped frequency distribution) haala armaan gadiin ijaaruu ni dandeenya.
Firiiwwan (x) Baayina barattootaa (f)
15 – 19 11
20 – 24 9
25 – 29 12
30 – 34 26
35 – 39 32
40 – 44 35
45 – 49 25
50 – 54 24
55 – 59 10
60 – 64 8
65 – 69 4
70 – 74 2
75 – 79 2
Gareewwan adda addaa kan gatiiwwan jijjiiramaa itti addaan qoodaman gatii garagarummaa kutichaa (class intarvals) jedhamu. Garaagarummaan kutaa hamma kutaalee (class width or magnitude) jedhama.
Gatiiwwan lamaan kutaa tokko ibsan limiitota kutaa (class limits) yoo jedhamanu inni guddaan daangaa kutaa irraa inni xiqaan daangaa kutaa jalaa (lower class limit) jedhamu.
Gocha 1.4
Yoo daataan kenname tokko daataa itti fufaa (continuous data) ta’e, bifa gabatee armaan olii tiin ibsuun ni mijata jettee yaaddaa? Gareen mariihadhaa.
Umurii barattoota Mana barumsa Burqaa Beekumsaa kutaa 1ffaa hanga kutaa 6ffaa barachaa jiran haala armaan gadiitti gareeffaman haa jennu.
Waggoota Baayina barattoota
6 – 8 180
9 – 12 120
13 – 15 220
16 – 19 12
20 – 21 8
Gabatee 1.3
Hanqinni gabateen armaan olitti ibsame maali?
Hanqinicha foyyeessuuf tarkaanfii attamii fudhatta?
Hubaachiisa
Kutaa tokko gatii tokkoon bakka buusuun ni danda’ama. Gatiin kunis tuqaa gidduu (mid-point or average or class-mark) kutichaa jedhama.
Fakkeenyaaf yoo kuticha 20 – 25 ta’e, tuqaan gidduu isaa (20+25)/2=22.5 ta’a.
Seerota ijaarsa gabatee agarsiistuu gatiiwwanii fi deddeebi’insaan gareeffamee:
Kutaaleewwan haala ifaa ta’een ibsamuu qabu.
Tokkoon tokkoon gatiiwwan jijjiiramtootaa kutaaleewwan jiran keessaa tokko qofa keessatti hammatamuu qabu.
Baayinni kutaalee ykn gareewwanii haala malee hedduu ykn haala maalee xiqqoo ta’uu hin qaban yeroo mara baayinni kutaalee 6 hanga 15 gidduu ta’uu qaba.
Intarvaalotni hundinuu hamma wal qixa ta’e qabaachuu qabu. Kunis Kan ibsamu. Hammi kutaa (intarvaalii) = Reenjii/(Baayina kutaalee)
Kutaaleen irraan ykn jalaan banaa ta’uu irra hin jiraatu.
Intarvaalotni hundinuu ittifufaa ta’uu qabu.
Fakkeeny intarvaalota 20 – 24 fi 25 – 29 yoo fudhanne gatiiwwan 24 fi 25 gidduu jiran osoo hin hammatamiin hafu. Kanaafuu kutaaleen kun yoo haala armaan gadiin ibsaman rakkoon kun ni furama.
Kana jechuun, 20 fi hangaa irra xiqqaa 25 tti ykn bifa 19.5 – 24.5
25 fi hangaa irra xiqqaa 30 tti ykn bifa 24.5 – 29.5 tti ta’uu qaba
Daangaan jalaa intarvaalii kutaa baayataa hamma intarvaalii kutichaa ta’uu qaba.
Fakkeenya 3.
Daataa umurii iddattoo namoota 30 armaan gadiif gabatee agarsiistuu gatiiwwanii fi deddeebi’insaa ijaari.
20, 18, 25, 68, 23, 25, 16, 22, 29, 37
35, 49, 42, 65, 37, 42, 63, 65, 49, 42
53, 48, 65, 72, 69, 57, 48, 39, 58, 67
Furmaata
Reenjii = gatii umuruu gudaa-gatii umurii xiqqaa
= 72 – 16
= 56
Mee kutaalee 6 haa qabaannu jedhii murteessi.
56/6=9.33 ta’a.
Akka hojiif mijatu gochuuf kutaalee 10 fudhadhu. Umurii xiqqaan 15 irraa eegala. Umuriin gidduutti irra utaalam akka hin jiraanneef haala armaan gadiin itti deemna.
15 fi hanga irra xiqqaa 25.
25 fi hanga irra xiqqaa 35… jechuun gareessina.
Intarvaalii kutaa (CI) Deddeebi’insa (f)
15 fi hanga irra xiqqaa 25 5
25 fi hanga irra xiqqaa 35 3
35 fi hanga irra xiqqaa 45 7
45 fi hanga irra xiqqaa 55 5
55 fi hanga irra xiqqaa 65 3
65 fi hanga irra xiqqaa 75 7
Ida’ama 30
Gabatee 1.4
Gabateen armaan olii tokkoon tokkoon intarvaalii kutaa yuniitota meeqa akka hammatan haa ibsu malee ida’ama yuuniitotaa kanneen gatiiwwan intarvaalota kutaa ibsamaniin gadii ykn ol ta’an hin ibsu.
Kun kan argamu gabaatee agarsiistuu gatiiwwan fi walitti qabama deedeebi’insaa(cumulative frequency distribution) irra ta’a.Yoo xiyyeeffannoon qorataa baayina yuniitotaa gatii kennamee tokkoo gadii ta’e, gatiin kennamee kun daangaa irraa kutichaa (upper limit of the class interval) ta’a.
Kunis gabatee agarsiistuu gatiiwwanii fi waltti qabama deddeebi’insaa irra xiqqaa (less than cumulative frequency distributiom) jedhama. Yoo xiyyeeffannoon baayina yuuniitotaa gatii kenname tokko irra caalan ta’e, gatiin kun daangaa jalaa (lower limit) kuticha ibsamee yemmuu ta’u, gabateen kun gabatee agarsiistu gatiiwwanii fi walitti qabama deddeebi’insa irra guddaa (greater than cumulative frequency distribution) jechama.
Gocha: 1.5
Gabateewwan armaan gadii keessatti bakkeewwan duwwaa jiranu guuti.
(CI) (f) Walitti qabama deddeebi’insaa irraa xiqqaa( less than commulative frequency)
15≤x<25 5 5 (irra xiqqaa 25)
25≤x<35 3 8 ( irra xiqqaa 35)
35≤x<45 7 — —
45≤x<55 5 — —
55≤x<65 3 — —
65≤x<75 7 — —
Gabatee 1.5
(CI) (f) Walitti qabama deddeebi’insaa irraa guddaa( Greater than commulative frequency)
15 fi hanga 25 5 30 (irra guddaa 15)
25 fi hanga 35 3 25( irra guddaa 25)
35 fi hanga 45 7 — —- —-
45 fi hanga 55 5 — —- —-
55 fi hanga 65 3 — —- —-
65 fi hanga 75 7 — —- —-
Gabatee 1.6
Hubachiisa
Faayidaan gabatee agarsiistuu gatiiwwanii fi deddeebi’insa daataa duraa gareen walitti qabuun deddeebi’insa isaanii ibsuu dha. Haata’u maalee yoo fedhiin qorataa proporshinii fi dhibbantaa yuniitota(cases) tokkoon tokkoon kutaalee ta’e, kanas gabatee agarsiistuu gatiiwwanii fi deddeebi’insa hariiroo (relative frequency distribution) ijaarunn argachuu ni danda’ama.Halli raawwii isaas deddeebi’insa tokkoon tokkoon kutaalee deddeebi’insa walii galaa tiif hiruun ta’a. Gatiin argame kunis gara dhibbantaa deddeebi’insaatti jijjiruun salphaa ta’a. Deddeebi’insotni hariiroo gabateewwan agarsiistuu gatiiwwanii fi deddeebi’insa lama kan baayinni yuniitota isaanii wal qixa hin taane wal madaalchisuuf ni tajaajila.
(CI) (f) Dedd. Hariiroo (% dedd.)
15 fi hanga 25 5 5⁄30 16.7
25 fi hanga 35 3 3⁄30 10.0
35 fi hanga 45 7 7⁄30 23.3
45 fi hanga 55 5 5⁄30 16.7
55 fi hanga 65 3 3⁄30 10.0
65 fi hanga 75 7 7⁄30 23.3
Gabatee 1.7
Hubachisa
Gabatee agarsiistuu gatiiwwanii fi deddeebi’insa hariiroo irraa ka’uun gabatee agarsiistuu gatiiwwanii fi deddeebi’insa hariiroo walitti qabamaa ijaaruun ni danda’ama Gabateewwan lamaan armaan gadii ilaali.
Walitti qabama irra xiqqaa
(CI) Deddeebi’insa walitti qabamaa (irra xiqqaa) Deddeebi’isa hariiroo walitti qabamaa (irra xiqqaa)
Irra xiqqaa 25 5 5⁄30 ykn 16.7%
Irra xiqqaa 35 8 8⁄30 ykn 26.7%
Irra xiqqaa 45 15 15⁄30 ykn 50%
Irra xiqqaa 55 20 20⁄30 ykn 66.7%
Irra xiqqaa 65 23 23⁄30 ykn 76.7%
Irra xiqqaa 75 30 30⁄30 ykn 100%
Gabatee 1.8
Walitti qabama irra guddaa
(CI) Dedd. Walitti qabamaa (irra xiqqaa) Dedd. Hariiroo walitti qabamaa (irra xiqqaa)
15 fi ol 30 30⁄30 ykn 100%
25 fi ol 25 25⁄30 ykn 83.3%
35 fi ol 22 22⁄30 ykn 73.3%
45 fi ol 15 15⁄30 ykn 50.0%
55 fi ol 10 10⁄30 ykn 33.3%
Gabatee 1.9
1.3 Daataa histoogiraamii fi baargraafiin fayyadamuun dhiyeessuu
Histoogiraamii
Histoogiraamiin daddeebi’isa faca’insa daataa ittifufaa ta’e agrasiisuuf gargaara. Dhaabbiin isaa baar chaartii kan wal-fakkaatu ta’ee garaagarummaa qaba. Amalootni histoogiraamii kan armaan gadii ta’a.
Histoogiraamiin:-
Daataa itti fufaa ta’e qofaaf fayyada.
Aksisiin-X ykn aksisii dalgeen isaa iskeelii itti fufaa ta’e qabaata.
Hojjaa fi dalgeen histoogiraamichaa faayidaa mataa isaanii qabu.
Dalgeen tokko tokkoon reektaangilii kamiyyuu walqixa.
Bifa rektaangiliin qophaa’a.
Deddeebi’insi daataa aksisii-Y irratti agarsiifama.
Fakkeenya
Daataa qabxii barattootaa daree tokkoo 75% keessaa argatan armaan gaditti kenname histogiraamiin agarsiisi.
(CI) Tuqaa gidduu Deddeebi’insa(f)
15 fi hanga 25 20 5
25 fi hanga 35 30 3
35 fi hanga 45 40 7
45 fi hanga 55 50 5
55 fi hanga 65 60 3
65 fi hanga 75 70 7
Gabatee 1.10
Furmaata
Danaa 1.2
Baar-giraafii
Baar giraafiin akkuma paay chaartii daataa danaa garaagaraa agarsiisuuf fayyada. Kana keessatti bakka paay chaartii qoqqoodama daataa ibsuuf sarara dhaabbataa ykn immoo baar giraafii fayyadamna.
Haaluma kanaan amalootni baar giraafiin qabu keessaa:-
Qoqqoodamni daataa baar-giraafii garaa garaan ibsama.
Hojjaan baar-giraafii deddeebi’insa daataa agarsiisa.
Baar-giraafiin yeroo baay’inaan ol dhaabbatoo ta’ullee dalgaas ta’uu kan danda’uu dha.
Yeroo kamiyyuu iskeeliin isaa zeeroo irraa ka’a.
Fakkeenya 5
Daataa baay’ina barattoota mana barumsa sad.1ffaa Biqilituu Leeqaa bara 200-2005 simataman kan armaan gadiif baar-giraafiin agarssi.
Bara barnootaa Baay’ina barataa simatamanii
2000 425
2001 480
2002 412
2003 510
2004 620
2005 750
Gabatee 1.11
Furmaata
Danaa 1.5
Gocha 1.6
Garaagarummaa fi wal fakkeenya histoogiraamii fi baar giraafii ibsi.
Chaartii Paayii (pie chart)
Giraafiin chaartii paayii jedhamu kun yeroo tokko tokko giraafii geengoo jedhama. Giraafii sararaa wajjiin garaagarumma gudda qabu. Danaan kun waan guutuu tokko kutaalee adda addaatti qooduun, qoqqoodama kana agarsiisuuf ta’a.
Giraafiin geengoo odeeffannoo bifa dhibbarraatiin ibsuuf gargaara. Geengoo guutuu fudhachuun pirooppoorshinii gareewwan mul’ifamuu qaban irratti hundaa’uun golboowwanitti qooduun mul’ifama. Giraafiin geengoo akkasii kun chaartii paayii jedhama. Chaartiin paayii daataa bifa dhibbarraan mul’isa. Kanaafuu, gartokkeewwan garaagara waan guutuu tokkoo waliin madaalchisuuf gargaara. Geengoon yookiin chaartiin paayii akka dhibbantaa 100 bakka bu’a yookiin waan guutuu tokko jennee fudhanna. Gar-tokkeewwan qoodama geengoo kana keessatti
ammataman piropporshiniin isaanii walitti 100% ta’u. Kana jechuun immoo karaa biraa waan guutuu tokko gareewwaaniif hiruu jechuudha. Chaartiin paayii wanta hiramu (geengoo) yoo ta’u golboowwan immoo gartokkeewwan qoodama geengoo bakka bu’u.
Chaartii paayii ijaaruuf gatii odeeffannoowwan lakkoofsaan kennamanii mara walitti erga idaane booda bakka gartokkee barbaadamu yookiin golboo gartokkee ta’e bakka bu’u argaachuuf immoo firaakshinii gartokkee kanaa 3600 n baay’isuun kofa golboo barbaadamu argatta.
Gocha 1.7
Lafti mana barumsaaf kenname tokko akka armaan gadiitti faayidaa irra oole. 40%’n lafa ijaarsa manaa, 25%’n dirree taphaa, 15% dirree kubbaa miilaa,10%’n kunuunsa abaaboo fi 10% bakka konkolaataan dhaabatu. Odeeffannoo kana chaartii paayiitti fayyadamuun akka armaan gadiitti
mul’ifama.
Furmaata
Golboowwan garaa garaa odeeffannoo kennaman bakka bu’an ijaaruuf
Lafa ijaarsa manaa:
〖40% kan 360〗^0=40/100×360=〖144〗^0
Dirree taphaa
〖25% kan 360〗^0=25/100×360=〖90〗^0
Dirree kubbaa miilaa
〖15% kan 360〗^0=15/100×360=〖54〗^0
Kunuunsa abaaboo
〖10% kan 360〗^0=10/100×360=〖36〗^0
Bakka konkolaataan dhaabatu
〖10% kan 360〗^0=10/100×360=〖36〗^0
Danaa 1.6
Gocha 1.7
Obbo Fufaan galii ji’aa isaanii akka armaan gadiitti hojiirra oolchuf sagantaa baafatani. 15% qusachuu, nyaataaf 30%, kiraayii manaaf 20%, baasii mana barumsa ijoolleef 25% fi kan irraa hafe immoo geejjibaaf oolchu.
Chaartii paayii irraatti golboon baasii geejjibaa bakka bu’u safarri kofa isaa hammami?
Safarri kofa golboo baasii nyaataa bakka bu’u hoo?
Safarri digrii chaartii paayii irratti baasii kiraayii manaa bakka bu’u meeqa ta’a?
Chaartii paayii ijaaruun akkaataa obbo Fufaan galii isaaniitti fayyadamani mul’isi.
Yoo galiin ji’aa obbo Fufaa qarshii 3000 ta’e, baasiin isaan nyaataaf oolchan meeqa ta’a?
Cuunfaa
Daataan qindaa’ee tokko haala salphaatti akka hubatamu maloota (bifoota) armaan gadii tiin dhiyeessuun ni danda’ama
Gabatee agarsiistuu gatiiwwan jijjiiramaa fi deddeebi’insaa tti fayyadamuun dhiyeessuu.
Bifa danaa tiin dhiyeessuu
Danaa sarara olee (‘bar diagram’)
Chaartii paayitiin (‘pie chart’) fii
Fakkiitti fayyadamuun dhiyeessuu.
Bifa giraafiitiin dhiyeessuu.
Histoograamii (‘histogram’) itti fayyadamuun dhiyeessuu;
Rog-baayeewwa deddeebi’iinsaa (‘frequency polyons’) tiin dhiyeessuu fi
Gilgaala 1.2
Namoota 30 ganda tokko keessa jiraatanu irraa daataan oomisha boqqolloo kuntaalaan funaaname akka armaan gaditti tarreeffamera.
100 95 98 112 115 105 102 120 117 107
109 110 94 99 112 107 113 106 100 105
110 114 115 107 94 95 105 110 112 120
Daataa armaan olii irratti hundaa’uun gaaffilee armaan gadii hojjedhu.
Daataa kenname xiqqaa irraa gara guddaatti tartiibaan kaa’ii.
Jijjiiramoota daataa kanaa tarreessi.
Daataan akka hubannoof mijatutti gabatee agarsiistuu gatiiwwan jijjiiramoota fi daddeebi’iinsa tiin kaa’i.
Daataa kanaaf histoogiraamii ijaari.
Gabatee armaan gadii keessatti bakkeewwan duwwaan jiranu guuti.
Daataa gareen
Deddeeb’iinsa Deddeeb’iinsa irra xiqqaan Deddeeb’iinsa irra guddaan Tuqaa walakkeessaa (‘mid-points’)
95 hanga irra xiqqaa 100 6 6(irraa xiqqaa 100) 30(95 fi ol) 97.5
100 hanga irra xiqqaa 105 3 9 irraa xiqqaa 105 24(100 fi ol) 102.5
105 hanga irra xiqqaa 110 8 – –
110 hanga irra xiqqaa 115 7 – –
115 hanga irra xiqqaa 120 3 – –
120 hanga irra xiqqaa 125 3 – 112.5
Gabatee 1.12
Daataa armaan oliitti kenname giraafiiwwan ojaayivii fi rog-baayeewwan deeddeb’iinsaa tiin bakka buusi.
Barataan tokko guyyaatti gochoota hojjetu haala armaan gadiitti sa’aatiin qooduun yoo karoorfate, karoora barataa kanaa fakkii mijaa’aa dha jettee yaadduutti fayyadamuun dhiyeessi.
Rafiitiif: sa’aatii 8
Nyaataaf: sa’aatii 3
Mana barumsaaf: sa’aatii 6
Hojii manaaf: sa’aatii 4
Hojiiwwan xixiqqaaf: sa’aatii 3
Daataa gabatee armaan gadiitiin ibsame dana a ykn giraafii mijaa’aa jettee yaadduun dhiyeessi.
Jijjiirama 1.5-2.5 2.5-3.5 3.5-4.5 4.5-5.5 5.5-6.5 6.5-7.5 7.5-8.5 8.5-9.5
Deddeeb’iinsa 3 7 12 19 18 18 10 2
Gabatee 1.13
Jijjiirama Saawwan Hoolota Sangoota Lukkuuwwan
Deddeeb’iinsa 50 25 16 12
Gabatee 1.14
Baayina barattootaa mana barumsaa tokko kan waggoota 5 qabatee armaan gadiitiin dhiyaateera.
Bara Bayina barattootaa
1994 300
1995 250
1996 200
1997 350
1998 400
Gabatee 1.15
Maatii tokkoof baasiin (qarshiin) waggoota 4 bakka saditti qooduun akka armaan gadii tti kenameera.
Bara Nyaataf Barnootaaf Uffataaf Ida’ama
1991 3000 2000 3000 8,000
1992 3500 3000 4000 10,500
1993 4000 3500 5000 12,500
1994 6000 5000 7000 18,000
Gabatee 1.16
BOQONNAA 2
SAFARTOOTA HANDHURAA
Kaayyolee
Dhuma boqonnaa kanaatti kaadhimamtootni
Safartootni handhuraa eenyufaa akka ta’an ni tarreessu.
Daataa kenname tokkoof safartoota handhuraa ni shallagu.
Amaloota gatii giddu gala, gatii marmaartu fi gatii gidduu ni tarreessu.
Walitti dhufeenya gatiilee giddu galaa ni ibsu.
Faayidaa fi miidhaa safartoota ni ibsu.
Boqonnaa darbe keessatti daataa funaaname tokko akka salphaatti hubatamuu danda’u gabateen ykn giraafiin bakka buusuun akka fayyadu ilaallee jirra. Haa ta’u malee daataa kenname tokko irraa odeeffannoo barbaadamu salphaatti argachuuf gochi kun gahaa miti.
Odeeffannoo waa’ee gatii giddu galaa (averages) raabsama (distribution) daataa tokkoo baruuf istaatistiiksii keessatti malleen adda addaa ni jiru.Malleen kunis mala safartoota handhuraa jedhamu. Safartoota handhuura daataa kan jedhaman keessaa kanneen beekamoo ta’an:
Gatii giddu galaa ( mean)
Gatii gidduu (Median) – fi
Gatii marmaartuu (mode) kan jedhamanii dha.
2.1 Gatii giddu galaa ( Mean)
Gocha 2.1 Gatiin giddu gala lakkoofsota lakkaawwii duraa kudhan barbaadi.
Gatiin giddu gala afurtu jiru. Isaanis:
Gatii giddu gala artimeetikii (arthimetic means).
Gatii giddu galaa artimeetikii madaalamaa (Weighted arthimwetic
means)
2.1.1 Mallattoo ida’uu fi haala itti fayyadama isaa
Mee x_i’ngatiiwwan n,〖 x〗1 x_2,x_3, . . .〖,x〗_n jijjiiramaa x keessaa tokko bakka haa bu’u. x_iirratti qubeen ilakkoofsota 1, 2, 3, . . . , n keessaa tokko kan bu’u yoo ta’u maqaan isaa indeeksii (index) jedhama. Itti dabalataanis gatiiwwan x kan l hanga n tti jiran ida’uu ykn makuun yoo barbaanne salphaatti bifa ∑(i=1)^n▒x_i tiin ibsina.
Kana keessatti Mallattoon qubee Giriikii guddaa maqaan isaas sigmaa (sigma) jedhamu yoo ta’u, ida’uu kan agarsiisu dha.
Fakkeenya
1. =2+ 3 +4+ 5+6 +7+8=35
- =〖a x〗1+ 〖ax〗_2 + 〖ax〗_3+ . . .〖+ax〗_n 〖=a(x〗_1+ x_2+ . . .〖+x〗_n) = a∑(i=1)^n▒〖x_i yoo a^’ n lakkoofsa dhaabbataa ta^’ e.〗
Yoo a, b fi c’n lakkoofsota dhaabbatoo ta’an
∑(i=1)^n▒〖(ax_i+by_i-cz_i )=a∑(i=1)^n▒x_i 〗+a∑(i=1)^n▒y_i -c∑(i=1)^n▒z_i ta^’ a.
Gocha: 2.2
- Ida’ama tarmoota armaan gaditti ibsamanii barreessi.
a) ∑(i=2)^4▒(i^2-3) b) ∑(i=1)^5▒(x_i+7) c. ∑_(i=2)^4▒(〖2i〗^2+5)
- Mallattoo ida’uunibsi.
a. (y_1+2)^2+(y_2+2)^2+(y_3+2)^2+…(y +
b. 12+22+32+… +102
2.1.2 Gatii gidduu galaa artimeetikii
Mee x_1,x_2,⋯〖,x〗n daataa fi n immoo baay’ina daataa haata’u. Gatiin giddugala artimeetikii daataa kanaa:- AM=x ̅=(x_1+x_2+⋯〖+x〗_n)/n=(∑(i=1)^n▒x_i )/n
Kunis yoo dubbifamu x baarii (x – bar) jedhuun ta’a.
Fakkeenya
Gatiin giddu galaa artimeetikii daataa 7, 4, 5, 13 fi 11
AM=x ̅=(7+4+5+13+11)/5=40/5=8 ta’a.
Yoo daataan x_1,x_2,x_3,⋯〖,x〗k irra deddeebi’insa (frequency) duraa duubaan f_1,f_2,f_3,⋯〖,f〗_k qabaatan, gatiin giddu gala artimeetikii daataa kanaa. AM=x ̅=(〖f_1 x〗_1+〖f_1 x〗_2+〖f_1 x〗_3+⋯〖+f_1 x〗_k)/(f_1+f_2+⋯〖+f〗_k )=(∑(i=1)^k▒〖fi x_i 〗)/(∑(i=1)^k▒〖fi 〗) AM= (∑(i=1)^k▒〖fi x_i 〗)/n ta’a
Kana keessatti ∑_(i=1)^k▒〖fi x_i 〗=n ta’a.
Fakkeenya
Yoo daataan 6, 5, 3 fi 2 deddeebi’insa 4,3,5 fi 3 qabaatan gatiin giddu gala artimeetikii daataa kanaa
Gatii (v) 2 3 5 6
Deddebi’insa (f) 3 5 3 4
vf 6 15 15 24
∑▒〖f=15 fi ∑▒〖vf=60〗〗
AM=(∑▒vf)/(∑▒f)=60/15=4
Gocha 2.3.
Gabatee deddebi’insaa armaan gadii irratti hundaa’uun gatii giddu gala artimeetikii barbaadi.
Gatii (V) 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
f 1 2 3 6 10 11 7 3 2 1
Gabateen armaan gadii daataa gareeffame miindaa hojjettoota waarshaa shukkaara Finca’aa kumaan ibsamedha.Gatii giddu gala artimeetikii isaa barbaadi.
Miindaa (v) 2-4 5-7 8-10 11-13 14-16
f 1 4 10 3 2
2.1.3 Gatii giddu galaa artimeetikii madaalamaa
Yeroo tokko tokko daataa x_1,x_2,x_3,⋯〖,x〗_k tiif akkuma barbaachisumaa isaaniitiin madaallii ykn gatiin adda addaa ni kennammaaf. Fakkeenyaaf koorsiiwwan barnoota Herregaatiif akkuma bal’ina qabiyyee isaaniitiin kireedit haworiin adda addaa ni kennaamaaf.
Walumaa galatti yoo daataa x_1,x_2,⋯〖,x〗_k waliin duraa duubaan madaalotni w_1,w_2,⋯〖,w〗_k kennaman, gatiin giddu galaa artimeetikii madaalamaan isaa
Gggm = x ̅=(〖w_1 x〗_1+〖w_2 x〗_2+〖w_3 x〗_3+⋯〖+w_x x〗_k)/(w_1+w_2+⋯〖+w〗_k )
= (∑_(i=1)^k▒〖w_i x_i 〗)/(∑▒w_i ) ta’a.
Kunis gatii giddu galaa artimeetikii madaalamaa (weighted arithmetic mean) jedhama.
Fakkeenya
Daataa armaan gadii tiif gatii giddu galaa artimeetiikii madaalamaa barbaadi.
Xi Wi
85 1
70 3
90 3
(1(85)+3(70)+3(90))/(1+3+3)=565/7=80.7
Amaloota gatii giddu galaa artimeetikii.
Tuuta daataa tokkoof ida’amni maqiinsota gatiiwwan gatii giddu gala artimeetikii irraa qaban zeeroo ta’a. Innis ∑(i=1)^n▒〖(x ̅-x(i)) 〗=0
Tuutni daataa tokkoo gatii garmalee guddaa ykn gatii garmalee xiqqaa yoo qabaate gatiin giddu gala artimeetikii gatii garmalee guddaa ykn xiqqaa kanaan waan harkifamuuf gatiin giddu gala artimeetikii safara handhuuraa filatamaa ta’uu dhiisuu ni mala.
Gatiin giddu gala artimeetikii gatiilee safartoota biroo daataa shallaguuf ni fayyada.
Tuutni daataa kenname tokkoo gatii giddu gala artimeetikii tokko qofa qabaata.
Yoo A’n tilmaama gatii giddu gala artimeetikii kamiyyuu ta’ee fi
d_i=x_i- A’n maqinoota x_i fi A gidduu jiru ta’a.
= ta’a.
= ta’a.
Gilgaala. 2.1
Gatii giddu gala artimeetikii daataa armaan gadii barbaadi.
V 7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5
f 6 5 15 10 5 4 3 2
Gabatee armaan gadii irraa gatii giddu gala miindaa hojjettootaa barbaadi.
Miindaa/
Guyyaa
1-5
6-10
11-15
16-20
21-25
26-30
31-35
36-40
41-45
f 7 10 16 32 24 18 10 5 1
Yeroo gatii giddu gala artimeetikii wantoota 98 shalagamu wantotni lama, 60 fi 70,irra darbamuun gatiin giddu gala dogongoraa 50 dhufe. Gatii giddu gala artimeetikii sirri barbaadi.
Gatii giddu galaa artimeetikii 1.3,7.0,3.6,4.1 fi 5.0 barbaadi.
Gatiin daataa kenname tokkoo yoo 10n hir’ise gatiin giddu galaa isaa maal ta’a?
Tuuta daataa tokkoof ida’amni maqinsootaa gatiiwwan gatii giddu gala artimeetikii irraa qaban zeeroo ta’uu mirkaneessi.
2.2 Gatii gidduu (Median)
Gatiin gidduu tuuta lakkoofsotaa kan guddaa irraa gara xiqqaatti ykn xiqqaa irraa gara guddaatti tartiibeffamanii gatii gidduutti argamu ta’a. Haala ibsa kanaatti gatii gidduu tuuta lakkoofsota tokkoo argachuuf maloota lama qabna.Isaanis:
Mee x1, x2, x3,… xn daataa baay’ina n kennamamee xinnaa irraa gara guddaa yookaan guddaa irraa gara xinnaatti terreeffamee fhaa ta’u.
Yoo baayinni daataa lakkoofsa mango ta’e gatiin gidduu kan walakkeessa irratti argamu ta’a.
Me=gatii bakka ((n+2)/2)^ffaairratti argamuuti. n- lakkoofsa mangoo dha.
Yoo baayinni daataa lakkoofsotaa guutuu ta’e gatiin gidduu gatii giddugala artimeetikii lakkoofsota walakkeessa irratti argaman lamaanii ta’a.
Me=gatii giddu gala (gatii bakka) (n/2)^ffaa fi (n/2+1)^ffaa irratti argamuuti.
n-lakkoofsa guutuu yoo ta’u, M_e=(〖(n/2)〗^ffaa+〖(n/2+1)〗^ffaa)/2 ta’a.
Fakkeenya
Gatii gidduu (Me) daataa 61, 62, 63, 61, 63, 64, 64, 60, 65, 63, 64, 65 fi 64 barbaadi.
Mee jalqaba daataa kana xiqqaa irraa gara guddaatti haa tartibessinu.
60, 61, 61, 62, 63, 63, ,64, 64, 64, 64, 65, 65
n=13 lakkoofsa mangoo waan ta’eef gatii bakka ((n+1)/2)^ffaairratti argamu gatii gidduti.
Me kan ta’u gatii bakka((13+2)/2)^ffaa=7^ffaa irratti argamudha. Innis 63 ta’a. Kanaafuu, gatiin gidduu 63 ta’a jechuu dha.
Fakkeenya.
Gatii gidduu daataa gabatee armaan gadii barbaadi.
V 3 5 4 2 7 6
F 2 1 3 2 1 1
Mee jalqaba gabatee deddeebi’insaa armaan gadii haa ijaarru.
v
f Walitti qabama deddebi’insaa
2 2 2
3 2 4
3
5 1 8
6 1 9
7 1 10
Hubadhu, n=10 (lakkoofsa guutuu dha)
〖Gatii bakka (( n)/2)〗^ffaa=(( 10)/2)^ffaa= (5)^ffaa fi (n/2+1)^ffaa= (5+1)^ffaa=6^ffaa fudhadhu.
Gatiin gidduu daataa gatii gidduu gala daaataa gatii baakka ((5)^ffaa+6^ffaa)/2 ta’a.
M_e=(4+4)/2=4 ta^’ a.
Kanaafuu gatiin giddu 4 ta’a.
Karaa biraan 〖Gatiin bakka (( n)/2)〗^ffaa=(5)^ffaa fi (n/2+1)^ffaa=6^ffaa walitti qabama deeddeebi’insaa 7 keessatti argamu. Kana jechuun gatiin kutaa kana keessatti argamu gatii gidduu ta’a.
Gatiin gidduu daataa gareeffamee
Gatiin gidduu daataa gareeffamee, tilmaamaan (interpolation) bifa
Gg = ( x) ̃=L+((n/2-cf)/f)w tiin argama.
Kana keessatti: L= daangaa jala kutaa gatii gidduu (lower class boundary of the median class)
n= deddeebi’insa walii galaa (total frequency)
cf= ida’ama deddeebi’isota hundaa kan kutaalee irra xiqqaa kutaa gatii gidduu ta’an (sum of frequencies of all classes lower than the median class)
f=Deddeebi’insa kutaa gatii gidduu (frequency of the median class)
w=hamma intarvaalii kutaa gatii giddu (size of median class interval)
Fakkeenya
Gabatee ulfaatin (weight) namoota 50 agarsiisu armaan gadii tiif gatii gidduu barbaadi.
Ulfaatin Deddeebi’insa
80 – 89 5
90 – 99 9
100 – 109 20
110 – 119 8
120 – 129 6
130 – 139 2
Ibsama gabatee kana irraa akka tilmaamuu danda’amutti gatiin gidduu ulfaatina walakkaan deddeebi’insaa isaa olitti argamanii fi walakkaan immoo isaa gaditti argaman ta’uun ilaalamuun ni ta’a.
Ida’amni deddeebi’insota kutaalee 2’n duraa fi 3’n duraa,duraa duubaan 14 fi 34 waan ta’eef, gatiin gidduu kutaa 3ffaa keessatti akka argamu ifaa dha.
Kanaafuu kutaan gatii gidduu kutaa 3ffaata’a. Kanuma irraa:
Kutaa Deddeebi’insa Wal. Dedd.
80 – 89 5 5
90 – 99 9 14
100 – 109 20 34
110 – 119 8 42
120 – 129 6 48
130 – 139 2 50
n = 50, kutaan gatii gidduun/2=50/2=25 ta’a.
L= 99.5- daangaa jala kutaa gatii gidduu
f=20 deddeebi’insa kutaa 100-109.
cf=14 deddeebi’insa walitti qabamaa kutaa 90-99
w=10-hammaintervaalii kutaa gatii gidduu.
Me = ( x) ̃=L+((n/2-cf)/f)w
= 99.5+((25-14)/f20)10=105
Kanaafuu, gatiin gidduu 105 ta’a.
Amaloota gatii gidduu (Properties of Median)
Gatiin gidduu adda (unique) dha. Kana jechuun gatiin gidduu daataa tokko keessatti tokko qofa jechuu dha.
Gatiin baayyee gudda ykn xiqqaa ta’e gatii gidduu irratti dhiibbaa hin qabu.
2.2.1 Kuwaartaayilota (Quartiles), Deesaayilootaa (deciles) fi parsantaayiloota (percentiles)
Yoo tuutni daataa tokkoo tartiiba hamma (magnitude) isaa tiin kaa’ame, gatiin gidduu tuuta daataa kana bakka lama wal-qixatti kan qoodu dha. Yaaduma kan bal’isuun waa’ee gatiiwwan tuuta daataa kenname tokko bakkeewwan 4 wal qixatti qoodan yaaduu ni dandaeenya. Gatiiwwan kunis kuwaartaayiloota tokkoffaa ,lammaffaa fi sadaffaa yoo jedhamanu qubeewwan Q1, Q2 fi Q3 tiin (duraa duuban) bakka buufamu.
Haaluma wal fakkaatuun gatiiwwan dataa kenname tokko bakkeewwan wal qixa 10tti qoodu deesaayiloota yoo jedhamanmallattooleeD_1,D_2,D_3,…,D_9 bakka buufamu. Itti dabalataanis gatiiwwan daataa tokko bakkeewwan wal qixa 100tti qoodanu parsantaayiloota yoo jedhamanmallattoolee P_1,P_2,P_3,…,P_99 tiin bakka buufamu.
Kuwaartaayiloota (Quartiles)
Kuwaartaayilootni tuqaalee sadii daataa gatii xiqqaa irraa gara guddaatti tariibeffame bakka wal-qixa afuritti qoodu dha.Isaanis tuqaalee tokkoffaa, lammaffaa fi sadaffaan yoo ta’an kuwaartaayilii 1ffaa, 2ffaa fi 3ffaa jedhamuun beekamu. Q1, Q2 fiQ3tiin duraa duubaan bakka buufamu. Kuwaartaayoliin tokkoffaa, Q1 gatii (value) daatichaa dhibbeentaa 25 gadi jiraniiti.Q2n gatii daatichaa dhibbeentaa 50 gadi jiraniiti.Q3 gatii daaticha dhibbeentaa 75 gadi jiranii dha.
Kuwaartaayilota daataa hin gareeffamnee shallaguu
Daataa kenname tartiibaan hin ka’amne yoo ta’e dura tartiibessuun deddeebi’insa walitti qabamaa isaa barbaadi.
Q1 barbaadiif jalqaba((n+1)/4) shallagi yoo n deddeebi’insa walii galaa (total frequency) daatichaa ta’e.Gatiin gita deddeebi’insaa walitti qabamaa (irra xiqqaa)kan irra guddaa yookiin walqixa ((n+1)/4)barbaadi. Gatiin daataa gita deddeebi’insa walitti qabamaa kana jiru Q1 dha.Q2 barbaaduufjalqaba(2(n+1))/4shallagi yoo ndeddeebi’insa walii gala daatichaa ta’e.Gatiin gita deddeebi’insaa walitti qabamaa (irra xiqqaa) kan irra guddaa yookiin walqixa (2(n+1))/4 daatichaa gita deddeebi’insaa walitti qabamaa kanatti argamu Q2 ta’a. Gocha 2.4
Haaluma armaan oliin Q1 fi Q2 itti barbaanneen Q3 barbaadi.
Fakkeenya
Gabatee deddeebi’insaa dataa hin garoofne armaan gadiif Q1, Q2 fi Q3 barbaadi.
v 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f 1 9 26 59 72 52 29 6 1
Deebii: Daataa kenname kun tartiibeffameera waan ta’eef gabate deddeebi’insa walitti qabamaa isaa ijaari.
v 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f 1 9 26 59 72 52 29 6 1
Deddeebi’insa walitti qabamaa (irra xiqqaa)
1
10
36
95
167
219
248
254
255
Baay’inni daataa walii galaa 255 dha.Ifatti gatiin gidduu 4 ta’a.
Kuwaartaayilotni kffaa gatii qixa jiruu fi k=1, 2, 3 ta’a.
Q1=3- gatii qixa 64ffaa irra jirudha.
Q2=4- gatii qixa 128ffaa irra jirudha.
Q3=5- gatii qixa 192ffaa irra jirudha.
Hub: Q2 gatii gidduu daataa kennamee waliin walqixa dha.
Gucha 2.5
Hubachiisa armaan olii fakkeenya kenname irratti hunda’uun mirkaneessi.
Kuwaartaayilota daataa gareeffame shallaguu
Gocha 2.6
Kuwaartaayilii kffaa barbaaduuf tarkaanfiin jalqabaa maali?
Kuwaartaayilota kanneen barbaaduuf dura deddebi’insawalitti qabama (irra xiqqaa) isa irra gudda yookin walqixa yoo k= 1, 2, 3. Kutaan gita walitti qabama deddeebi’insa kanaa kutaa kuwaartaayilii Kffaa ta’a.
Q_k=L+w(kn/4-cf)/f
K= 1, 2, 3.
L= Daangaa jala kutaa kuwaartaayilii kffaa (lower class boundary of the k-th quartile class).
n= Deddeebi’insa walii galaa (total frequency)
cf= Ida’ama deddeebi’isota hundaa kan kutaalee irra xiqqaa kutaa gatii gidduu ta’an (the cumulative frequency corresponding to the class immediately preceding the k-th quartile class).
W= Hamma intarvaalii kutaa kuwaartaayilii kffaa (the class width of the k-th quartile class).
f= Deddeebi’insa kutaa kuwaartaayilii (frequency of the k-th quartile class).
Fakkeenya
Kuwaartaayiliyoota sadan dataa gareeffame armaan gadii barbaadi.
Kutaa 11
0-4
5-9
10-14
15-19
20-24
f
2
7
12
6
3
Furmaata
Gabatee deddeebi’insa walitti qabamaa ijaar.
V
0-4
5-9
10-14
15-19
20-24
f
2
7
12
6
3
Deddeebi’insa walitti qabamaa (irra xiqqaa)
2
9
21
27
30
n=30 – deddeebi’insa walii galaa
Foormulaa daataa gareeffamee armaan olii gargaaramuun Q1 barbaadi.
Tarkaanfilee:
Kutaa kuwaartaayiliin Q1 barbaadi.
kn/4=(1×4)/4=7.5 kanaafuu, deddeebi’insa walitti qabamni inni xiqqaan, kan irra guddaa yookin walqixa 7.5’n 9 waan ta’eef 5-9 kutaa kuwaartaayilii 1ffaa (Q1) ta’a.
L,w,f, fi cf barbaadi.
L= 4.5 , w=5, f= 7, cf= 2 ta’u. gatiiwwan kana foormulaa armaan gadii keessa bakka buusuun shallagi.
Q_k=L+w(n/4-cf)/f,〖 Q〗_k=4.5+5(30/4-2)/7=8.43
Gocha 2.7
- Q2 fi Q3 fakkeenya armaan olii gilgaala haa ta’u.
Baayi’inni wantootaa (number of items) Q3 gadi jiru meeqa ta’a?
Deesaayiloota (Deciles)
Deesaayilootni tuqaalee sagal daataa tartiibeffame tokko bakka walqixa kudhantti qoodu dha (tokkoon tokkoon gartokkee meseensota walqixa qabu jechuu dha.) Tuqaaleen 1ffaa, 2ffaa, 3ffaa, … 9ffaa kun duraa duubaandeesaayiloota 1ffaa, 2ffaa, 3ffaa, … 9ffaa yoo ta’u D1, D2, D3, … D9 tiin bakkabuufamu.
Deesaayilii kffaa Dkdaataa hin gareeffamnee barbaaduuf (k=1, 2, 3, …,9) gatii (k(n+1))/10 shallaguun deddeebi’insa walitti gabamaa irra xiqqaa kan irra guddaa ykn walqixa (k(n+1))/10 ta’ee barbaadi. Gatiin gita deddeebi’insa walitti qabamaa kana jiru deesaayilii kffaa Dk ta’a.
Fakkeenya
Gabatee deddeebi’insaa dataa hin garoofne armaan gadiif D¬¬5 fi D¬¬7 barbaadi.
v 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f 1 9 26 59 72 52 29 6 1
Furmaata:
D5 barbaaduuf = (k(n+1))/10=(5(255+1))/10=128
Deddeebi’insaa walitti qabama kana irra guddaa yookin walqixa 128, 167 dha. Gatiin gita deddeebi’insa walitti qabamaa 167 jiru 4 dha. Kanaafuu, D5 = 4
Gocha 2.8
D7 = 5 daataa kennamee barbaadi.
Deesaayiloota Daataa Gareeffamee
Jalqaba kn/10 shallagi, itti aansuun deddeebi’insa walitti qabamaa (irra xiqqaa) kan irra gudda yookiin walqixa kn/10 , k= 1, 2, 3, …,9 barbaadi. Kutaan gita deddeebi’insa walitti qabamaa kutaa deesaayilii kffaa Dk jedhama. Kun kutaa Dk keessatti argamu dha.
〖 D〗_k=L+w(kn/10-cf)/f
K= 1,2,3…,9
L= daangaa jala kutaa deesaayilii kffaa (lower class boundary of the k-th decile class).
n= deddeebi’insa walii galaa (total frequency)
cf=ida’ama deddeebi’isota hundaa kan kutaalee irra xiqqaa kutaa gatii gidduu ta’an (the cumulative frequency corresponding to the immediately preceding the k-th decil class).
W= hamma intarvaalii kutaa deesaayilii kffaa (the class width of the k-th quartile class).
f= Deddeebi’insa kutaa deesaayilii (frequency of the k-th decile class).
Fakkeenya
D4 fi D6 daataa armaan gadii barbaadi.
Intervaalii kutaa 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79
f 4 6 10 15 12 7 6
Furmaata: Jalqaba gabate deddeebi’insa walitti qabamaa ijaari.
Intervaalii kutaa 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79
f 4 6 10 15 12 7 6
Deddeebi’insa walitti qabamaa 4 10 20 35 47 54 60
n=60
4n/10=4×60/10 = 24 Walitti qabamni deddeebi’insa inni xiqqaa kan irra guddaa yookin walqixa 24 ta’e 35 dha. Kanaafuu, kutaan gita deddeebi’insa walitti qabama kanaa 40-49 ti.kunis kutaa deesaayilii 4ffaa D4 ta’a jechuu dha.
L= 39.5 daangaa kutaa jalaa kutaa 40-49
W=10- hamma kutaa kutaa 40-49
f= 15- deddeebi’insa kutaa deesaayilii
cf = 20 – gita deddeebi’insa walitti qabamaa kutaa 30-39
D_4=L+w(kn/10-cf)/f
D_4=39.5+10(24-20)/15=42.16 ̇
Kanaafuu D_4=42.16 ̇ ta’a jechuu dha.
Gocha 2.9
Haaluma wal fakkaatuun D_6 barbaadaa
parsantaayiloota (percentiles)
Parsantaayilootni tuqaalee 99 daataa tartiibeffame tokko bakka walqixa 100tti qoodu dha (tokkoon tokkoon gar-tokkee miseensotaa walqixa qabu jechuu dha.) Tuqaalee 1ffaa, 2ffaa, 3ffaa, … 99ffaa kun duraa duubaanparsantaayiloota1ffaa, 2ffaa, 3ffaa, …, 99ffaa yoo ta’u P1, P2, P3, … P99 tiin bakka buufamu.
Parsantaayiloota kffaa Pk daataa hin gareeffamnee barbaaduuf (k=1, 2, 3, …,99) gatii (k(n+1))/100 shallaguun deddeebi’insa walitti gabamaa irra xiqqaa kan irra guddaa ykn walqixa P_k=(k(n+1))/100 ta’ee barbaadi. Gatiin gita deddeebi’insa walitti qabamaa kana jiru Parsantaayilii kffaaPk ta’a.
Fakkeenya
Gabatee deddeebi’insaa dataa hin garoofne armaan gadiif P50 fi P90 barbaadi.
v 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f 1 9 26 59 72 52 29 6 1
P_k=(k(n+1))/100
P50= (k(n+1))/100= (50(255+1))/100 = 128
Walitti qabamni deddeebi’insaa inni xiqqaa, kan irra guddaa yookiin walqixa 128 ta’e 167 dha. Kanaafuu, gatiin gita deddeebi’insa walitti qabamaa 167, 4 dha. P50=4 ta’a.
Gocha 2.10
P60 gaaffii armaan olii hojjedhu.
Parsantaayiloota Daataa Gareeffamee.
Kutaa parsantaayilii kffaaargachuuf , k=1, 2, 3,…,99 shallagi fi deddeebi’insa walitti qabamaa xiqqaa kan irra gudda yookiin walqixa barbaadi. Kutaan deddeebi’insa walitti qabamaa xiqqaa kun kutaa parsantaayilii kffaa Pk ta’a.
P_K=L+w(kn/100-cf)/f
yoo: k = 1, 2, 3, … ,99. L, w, cf fi f akkuma deessaayilii keessatti ibsame dha.
Fakkeenya
P70 fi P80 daataa gareeffame armaan gadii barbaadi.
Intervaalii kutaa 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79
f 4 6 10 15 12 7 6
Furmaata
P_70= kn/100
=(70×60)/100=42 ta’a.
L= 49.5, w = 10, f=12, fi cf=35
Deddeebi’insa walitti qabamaa xiqqaa kan irra guddaa yookiin walqixa 42, 47 dha. Kanaafuu, kutaan gita deddeebi’insa walitti qabamaa 50-59 kutaa parsentaayilii 70ffaa ta’a.
P_K=L+w(kn/100-cf)/f
P_70=49.5+10(42-35)/12=55.5
Gocha 2.11
Fakkeenya armaan olii irratti hundaa’uun P80 barbaadi.
Gilgaala.2.2
- Gabateen armaan gadii faca’insa qabxii barattoota 50 agarsiisa. Yoo 60% barattoota kana
qormaata darban, qabxiin inni xiqqaan barattootni kun ittiin darban barbaadi.
Qabxii 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60
f 4 6 20 10 7 3
Gabateen armaan gadii faca’insa baasii maallaqa maatii jiraataa ganda tokkookan ji’aa agarsiisa.
Maallaqa bahe 31-35 36-40 41-45 46-50 51-55 56-60 61-65 66-70 71-75
Baay’ina maatii 10 15 14 12 13 14 15 17 20
Faca’insa armaan olii irraa kanneen armaan gadii barbaadi.
Kuwaartayilii tokkoffaa, lammaffaa fi sadaffaa barbaadi.
Deesaayilii sadaffaa fi torbaffaa barbaadi.
Parseentaayilii 30ffaa fi 80ffaa barbaadi.
2.3 Gatii marmaartuu (Modal value)
Akkuma maqaa isaa irraa hubachuun danda’amutti gatiin marmaartuu gatiiwwan daatichaa keessaa kan deddeebi’insa guddaa qabu dha.
Daataan kenname tokko gatii marmaartuu dhabuu ykn yoo qabaates murta’aa ta’uu dhiisuu ni danda’a.
Gatii marmaartuu daataa hin gareeffamnee
Daataa hin gareeffamne keessatti gatii marmaartuu barbaaduuf daataa deddebi’insa guddaa qabu gatii marmaartuu jedhama.
Fakkeenya
Tuuta daataa 4, 4, 3, 5, 7, 8, 8, 11, 7, 13 fi 7 tiif gatiin marmaartuu M0 = 7 ta’a.
Tuutni daataa 4, 5, 9, 11, 14, 16 fi 20 gatii marmaartuu hin qabu.
Tuutni daataa 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 8, fi 9 gatii marmaartuu lama qaba. Isaanis 5 fi 8 ta’u.
Hubachiisa:
Daataan marmaartuu lama qabu marmaartuu lamee (bimodal) yoo jedhamu daataan marmaartuu tokko qabu marmaartuu tokkee (unimodal) jedhama.
Daataan dedeebi’insa walfakkaataa qabu tokko gatii marmaartuu hin qabu.
Gatii marmaartuu daataa gareeffamee
Daataa gareeffameef gatii marmaartuu barbaaduuf foormulaa armaan gadii fayyadamna.
M_o= L_o+w(D_1/(D_(1+) D_2 )) tiin shallagama.
Kana keessatti:
LO = Daangaa jalaa kutaa gatii marmaartuu
D1 = Caalmaa deddeebi’sa kutaa gatii marmaartuu fi kutaa isaa gadi jiruu.
D2 = Caalmaa deddeebi’insa kutaa gatii marmaartuu fi kutaa isaa ol jiru
w = Hamma intarvaalii kutaa gatii marmaartuu.
Fakkeenya
Gabateen armaan gadee umurii hojjettoota murasa waarshaa sukkaar Finca’aa hojjetan ag arsiisa. Gatii marmaartuu barbaadi.
Umurii 18-20 21-23 24-26 27-29 30-32
f 4 8 11 20 7
Furmaata
Jalqaba kutaa gatii marmaartu barbaadi.
Gabatee armaan olii irraa 20 deddeebi’insa guddaa waan ta’eef 27-29 kutaa gatii marmaartuu ti.
LO = 26.5 daangaa kutaa jalaa kutaa gatii marmaartuu.
D1= 20-11= 9, D2 =20-7=13, w=3
MO=26.5+3(((20-11))/((20-11)(20-7)))=26.5+(3 ×9)/(9+13)
=26.5+27/22 =26.5+1.2 =27.7
Kanaafuu, umuriin gatii marmaartuu 27.7 ta’a.
Amaloota gatii marmaartuu
Gatii marmaartuun gatii guddaa ykn gatii xiqqaa daataa kennamee irratti hin hunda’u.
Daataan hundi gatii marmaartuu qabaachuu dhiisuu danda’a.
Gatiin marmaartuu adda (unique) ta’uu dhiisuu danda’a.
Cuunfaa
Safartoota handhuraa keessaa kan ijoo ta’an:
Gatii giddu galaa artimeetikii
Gatii gidduu
Gatii marmaartuu jedhamu
Gatiin giddu galaa artimeetikii amaloota armaan gadii ni qabaata.
Daataa kenname tokkoof dhugaa ta’a.
Daataa kenname tokko bakkeewwan adda addaatti qooduun qo’achuuf safartootni bekamoo ta’an:
Kuwaartaayiloota, Deesaayilootaa fi parsantaayiloota jedhamu.
Tuuta lakkoofsota tokkoof ida’amni maqiinsota gatii giddu gala artimeetikii irraa qaban zeeroo ta’a.
Ida’amni iskuweerota maqinsota tuuta lakkoofsotaa gatii giddu gala artimetikii irraa kanneen biro irraa xiqqaa dha.
∑(i=1)^n▒〖(x_i-x ̅ )^2 <〗 ∑(i=1)^n▒〖(x_i-a)^2 〗Kana jechuun yoo a’n lakkoofsa
dhaabbataa ta’e dha.
Yoo A’n tilmaama gatii giddu gala artimeetikii kamiyyuu ta’ee fi di=xi- A’n maqinoota xi’n fi A gidduu jiru ta’e.
x ̅=A+(∑(i=1)^n▒d_i )/n=A+(∑▒d)/n ta’a x ̅=A+(∑(i=1)^n▒〖f_i d〗i )/(∑(i=1)^n▒f_i )=A+(∑▒fd)/nta’a.
x ̅= (∑▒〖f_i x_i 〗)/(∑▒f_i ) ∑▒〖f_i x_i 〗=∑▒f_i x ̅=nx ̅
Gilgaala
Himoota armaan gadii gareen erga dubbisteen booda maal jechu akka ta’e dareef ibsi.
Uumuriin giddu gala kaadhimamtoota barsiisotaa daree A
keessatti Ramadan waggoota 18 ti.
Kaadhimamtoota barsiisota gare e tokko keessa jiran kudha tokko keessaa 5 kan ta’anu 1.75m irra yemmuu gabaabbatan 5 immoo 1.75m irra warren dheeratanu dha.
Namoota ganda tokko keessa jiraatanu keessaa harkii baay’een maatii hin qabanu
Daataan armaan gadii qabxii barattootni qormaata herregaa (Math272) fudhatan 24 galmeessisan kan agarsiisu dha.
42, 38, 42, 48, 42, 42, 45, 42, 46, 43, 50, 38, 42, 43, 42, 36, 39, 41, 42, 45, 39, 39, 49, 42
Daataa kana irratti hundaa’uun kanneen armaan gadii barbaadi
Qabxii giddu gala (‘arithmetic mean’)
Qabxii gidduu (‘median’)
Qabxii marmaartuu (‘mode’)
Qabxiilee sadan (a), (b), fi (c) irratti ibsite waa’ee daataa keennamee ilaalchisee maal irraa akka hubatte dareef ibsi.
Daataan gareeffame armaan gadii kan firii barattootni 120 qormaata barnoota Herregaa 100% keessaa argatan agarsiisu dha.
Daangaalee garee (class boundaries) Deddeebi’iinsa (f)
18.5 – 27.5 2
27.5 – 36.5 4
36.5 – 45.5 12
45.5 – 54.5 20
54.5 – 63.5 30
63.5 – 72.5 26
72.5 – 81.5 14
81.5 – 90.5 8
90.5 – 99.5 4
Firiiwwan kanaaf gatii giddu gala barbaadi.
Firiin barattootni 13 qormaata barnoota Herregaa samisteera 1ffaatti kenname irratti galmeessan:
40, 40, 66, 78, 73, 52, 60, 87, 70, 78, 78, 73, 63 yoo ta’e, kanneen armaan gadii shallagi.
Gatii giddu gala
Gatii marmaartuu
Gatii giddu
Gabateen deddeeb’iinsaa armaan gadii kan dheerina barattoota 100 Kolleejjii barnoota barsiisota agarsiisu dha.
Daataa gareen Dedeeb’iinsa (f)
60 – 62 5
62 – 64 18
64 – 66 42
66 – 68 20
68 – 70 8
70 – 72 7
Daataa armaan olii tiif kanneen armaan gadii barbaadi
Gatii giddu gala
Garee gatii marmaartuu.
Gatii gidduu
Himoota armaan gadii keessaa kan yeroo hunda dhugaa ta’e
kami?
Tuuta daataa kenname kamiifuu gatii marmaartuu argachuun ni danda’ama.
Tuutni daataa kenname tokko gatii giddu galaa tokkoo ol qabaachuu ni danda’a.
Tuuta daataa kenname kamiyyuu keessatti gatiin marmaartuu tokko qofa dha.
Kanneen armaan gadii mirkaneessi
Tokkoon tokkoon gatiiwwan daataa kennamee tokko irratti gatii dhaabbataan yoo dabalame, gatiin giddu galaatis haaluma wal fakkaatuun dabala
Tokkoon tokkoon gatiiwwan daataa kennamee tokko irraa gatii dhaabbataan yoo hir’ifame, gatiin giddu galaatiis haaluma wal fakkaatuun hir’ata.
Tokkoon tokkoon gatiiwwan daataa kennamee tokko gatii dhaabbataa ‘K’ tiin yoo baayifaman gatiin giddu galaa haaraan maal akka ta’u ibsuun deebii kee mirkaneessi.
Gabatee daataa mindaa hojjettoota 65 warshaa tokkoo agarsiisu armaan gadii tiif gatii marmaartuu barbaadii.
Mindaa Baayina hojjettootaa
250.00 – 259.99 8
260.00 – 269.99 10
270.00 – 279.99 16
280.00 – 289.99 14
290.00 – 299.99 10
300.00 – 309.99 5
310.00 – 319.99 2
BOQONNAA 3
SAFARTOOTA MAQIINSAA FI KANNEEN BIROO
Kaayyolee
Xumura boqonnaa kanaatti kaadhimamtootni
Safartoota maqiinsaa ni tarreessuu.
Hiikoo safartoota maqinsaa ni kennu.
Daataa kenname tokkoof safartoota maqiinsaa ni shallagu.
Faayidaalee safartoota maqiinsaa ni himu
Safartoota maqiinsaa kallattii fi hariiroo ni ibsu.
Gocha 3.1.
Tuuta daataa gareewwan A, B, fi C armaan gadii irratti hundaa’uun gaaffilee itti aanuuf deebii kennuuf yaali.
Garee A 30, 30, 30, 30, 30
Garee B 28, 29, 30, 31, 32
Garee C 3, 5, 30, 12, 75
Gatiiwwan giddu galaa gareewwan sadanuu barbaadi.
Waa’ee tamsa’ina daataa gareewwanii irratti ibsa kenni.
Tokkoon tokkoon daataa gareewwanii osoo kennamuu baatanii fi gatiiwwan giddu galaan isaanii qoftii yoo kennaman gatiiwwan kana irraa waa’ee caasaa daataa isaanii hubachuu ni dandeessaa? Ibsa kenni.
Safartootni handhuraa tuuta daataa kenname tokko keessatti gatiiwwan jiranu hammam akka walitti dhiyaatanu ykn wal irraa faggaatanu ibsuuf hin gargaaranu.
Akkasumas daataa kenname tokko keessatti gatiwwan jiranu tokkoon tokkoon isaanii hammam akka gatii kenname tokko irraa maqaan ittiin hubachuuf mijaa’oo miti. Safaratootni dhimmoota kana safaruuf tajaajilan safartoota tamsa’inaa ykn maqiinsaa jedhamu. Safartootni kunis kan ibsanu gatiiwwan tokkoon tokkoon daatichaa hangam akka naannoo gatii handhuraa (‘central value’) irraa faca’an ykn bittinnaa’an dha.
Safartoota kanneen keessaa kan beekamoo ta’an kanneen armaan gadiiti.
Reenjii (Range)
Maqiinsa giddu galaa (mean deviation)
Maqiinsa sirrii (standard deviation)
3.1 Reenjii fi maqiinsa giddu galaa
Reenjii (Range)
Gocha.3.2
Reenjii jechuun maal jechuu dha?
Reenjii daataa armaan gadii barbaadi.
V 6-9 10-13 14-17
f 10 21 9
Gatiiwwan daataa kenname tokko keessatti garaagarumaan gatii guddaa fi gatii xiqqaa gidduu jiru Reenjii jedhama.
Reenjii=Gatii Guddaa – Gatii Xiqqaa
Reenjii= GG – GX
Fakkeenya
Tuuta daataa 38, 20, 37, 64 fi 27 tiif reenjii isaa barbaadi.
Reenjii= Gatii guddaa – Gatii xiqqaa =64 – 20 = 44 ta’a
Reenjii akka safartuu maqiinsa hariirootti fayyadamuu keessatti yeroo maraa kan beekamoo ta’e, maxxantuu Reenjii ti.
Kunis bifa:
Maxxantuu Reenjii = (GG-GX)/(GG+GX) tiin ibsama.
Kana keessatti,
GG_ Gatii Guddaa daaticha
GX – Gatii xiqqaa daaticha bakka bu’u
Maqiinsa giddu galaa (Mean deviation)
3.1.2.1 Maqiinsa giddu galaa daataa hin gareeffamnee
Gat-sirriin gatii giddu gala artimeetikii, gatiiwwan daatichaa tokkoo tokkoon fi gatii giddu gala gidduu jiru maqinsa giddu galaa jedhama. Mee x_i’n gatiiwwan n,〖 x〗_1 x_2,x_3, . . .〖,x〗_n haa ta’u. Maqinsi gidu gala daataa kennamee formulaa armaan gadiin shalagama.
M.D =
Maqinsa giddu galaa barbaaduuf tarkaanfilee armaan gadii hordofuu qabdu.
Maqinsa giddu galaa aragachuuf gatii giddu gala tokkoo tokkoon gatiiwwan kennaman irraa hir’isi.
Gat-sirrii maqinsootaa barbaadi.
Ida’amni gat-sirrii maqinsootaa baayyina gatiiwwan daatichaaf hiri. Kun maqinsa gidu gala ta’a.
Gocha.3.3
Yoo gat-sirriin foormulaa armaan olii keessaa balleessine M.D maal ta’a?
Fakkeenya
Maqinsa giddu gala daataa 103, 97, 101,106, fi 103 barbaadi.
Furmaata:
(x ) ̅=(103+97+101+106+103)/5=102
xi x_i-x ̅ |x_i-x ̅ |
103 103-102=1 1
97 97-102=-5 5
101 101-102=-1 1
106 106-102=4 4
103 103-102=1 1
Ida’ama 0 12
M.D=( |x_i-x ̅ |)/n=12/5=2.4 ta’a.
Maqiinsa giddu galaa daataa gareeffamnee
Mee x1, x2, x3, …, xn daataa kennamee haa ta’u. x_1,x_2,x_3,…,x_n gatiwwan daatichaa fi tokkoon tokkon isaanii deddeebi’insaa f_1,f_2,f_3,…,f_n duraa duuban qabu yoo ta’e:
MD=(∑(i=1f_i)^n▒|x(i-) x ̅ | )/(∑(i=1)^n▒f_i ) kana keessatti n=∑(i=1)^n▒f_i ,x ̅= (∑_(i=1)^n▒〖 fi xi〗)/n ta’a.
Hubachiisa:
x_i gatii giddu gala kuticha ta’a.
f_i gatii deddeebi’insa kutichaa ta’a.
Itti dabalataanis maxxantuun maqiinsa giddu galaa
C.M.D = (Maqiinsa Giddu Galaa)/(gatii giddu galaa )=MGG/X ̅ ta’a.
Fakkeenya 1
Maqinsa giddu gala daataa armaan gadii barbaadi.
V 6 7 8 9 10 11 12
F 3 6 9 13 8 5 5
Furmaata:
xi fi fiXi x-x ̅ f_i |x-x ̅ ||
6 3 18 6-9.06=-3.06 9.18
7 6 42 7-9.06=2.06 12.36
8 9 72 8-9.06=-1.06 9.54
9 13 117 9-9.06=-0.06 0.78
10 8 80 10-9.06=0.94 7.52
11 5 55 11-9.06=1.94 9.7
12 5 60 12-9.06=2.94 14.7
Ida’ama 49 444 63.78
x ̅=(∑(i=1)^7▒〖f_i x_i 〗)/(∑(i=1)^7▒f_i )=444/49=9.06
MD=(∑(i=1f_i)^n▒|x(i-) x ̅ | )/(∑_(i=1)^n▒f_i )=63.78/49=1.3
Fakkeenya 2
Gabatee armaan gadii irratti hundaa’uun maqinsa giddugala hojjaa barattoota dhiiraa 100 kolleejjii keetii barbaadi.
Hojjaa Deddeebi’insa
60-62 5
63-65 18
66-68 42
69-71 27
72-74 8
Furmaata
Gatii giddu kutichaa/class mark of the class/ barbaadi.
Gatii gidduu gala artimeetikii x ̅=(∑(i=1)^n▒〖f_i x_i 〗)/(∑(i=1)^n▒f_i ) barbaadi.
|x-x ̅ | barbaadi.
f|x-x ̅ | barbaadi
Hojjaa Gatii giddu gala kutichaa |x-x ̅ | Deddeebi’insa(f) f|x-x ̅ |
60-62 61 6.45 5 32.25
63-65 64 3.45 18 62.10
66-68 67 0.45 42 18.90
69-71 70 2.55 27 68.85
72-74 73 5.55 8 44.40
N=∑▒f=100 ∑▒f_i |x-x ̅ |=226.5
Haala kanaan
MD=(∑(i=1f_i)^n▒|x(i-) x ̅ | )/(∑_(i=1)^n▒f_i )=226.5/100=2.27
Gocha 3.3
Faayidaa maqinsa giddu galaa ibsi.
Vaariyaansii fi Maqiinsa sirrii (Variance and standard deviation)
Gocha 3.4
Hanqinootni safrtoota handhuura maal fa’i?
Maqinsa jechuun maal jechuu dha? Fakkeenyaan deeggari?
Safartootni maqiinsaa hanga ammatti ibsaman barbaachisoo haa ta’anu malee hanqinoota adda addaa kan qabanu dha. Fakkeenyaaf reenjiin gatiilee daataa murtaa’oo ta’an qofa irratti kan hunda’ee waan ta’eef daaticha haala walii galaa ta’een ittiin ibsuuf rakkisaa dha. Akkasumas maqiinsi giddu galaa mallattoolee aljebraatiif kan xiyyeeffannoo kennu miti. Kanaafuu safartuu maqiinsaa hanqinoota kana irraa bilisa ta’e argachuun barbachisaa dha.
Safartoota maqinsaa rakkoolee kana irraa bilisa ta’anii fi beekamoo ta’an keessaa tokko maqiinsa sirrii kan gatii giddu gala daatichaa irratti hundaa’e dha.Kunis bifa armaan gadiitiin ibsama.
Maqiinsa sirrii barbaaduuf foormullaa armaan gadii fayyadamna.
δ=√((∑(1=1)^n▒〖f_i (x_i-x ̅ )^2 〗)/N) δ=√((∑(i=1)^n▒〖f_i 〖x_i〗^2 〗)/N)-2x ̅√((∑(i=1)^n▒〖f_i x_i 〗)/N)+x ̅^2 √((∑(i=1)^n▒f_i )/N) ,N=∑(i=1)^n▒x_i δ=√((∑(i=1)^n▒〖f_i 〖x_i〗^2 〗)/N)-2x ̅x ̅+x ̅^2 √(N/N) , maaliif?
δ=√((∑(i=1)^n▒〖f_i 〖x_i〗^2 〗)/N-x ̅^2 ) δ=√((∑(i=1)^n▒〖f_i 〖x_i〗^2 〗)/N-((∑_(i=1)^n▒f_i )/N)^2 ) ta’a.
Hubachiisa
Iskuweeriin maqiinsa sirrii Vaariyaansii jedhama. Vaariyaansii =
Daataa kennamee tokkoof ∑_(i=1)^n▒(xi-x ̅ ) =0 ta’a
Fakkeenya
Daataa armaan gadii tiif maqiinsa sirrii barbaadi.
Daataa: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 , 21
Deebii
x xi-x ̅ (xi-x ̅ )^2
11 -5 25
12 -4 16
13 -3 9
14 -2 4
15 -1 1
16 0 0
17 +1 1
18 +2 4
19 +3 9
20 +4 16
21 +5 25
110=∑▒(xi-x ̅ )^2
Kanaafuu, σ=√(110/11)=3.16 ta’a.
Gocha 3.5
Maqinsi sirrii daataa tokkoo 3 yoo ta’e vaariyaansiin isaa maal ta’a?
Hub: Vaaraansiin gatii giddu gala artimeetikii iskuweerii maqinsa gatii giddu galaa irraa qabu dha.
Mee x_i’n gatiiwwan n,〖 x〗_1 x_2,x_3, . . .〖,x〗_n haa ta’u. Vaariyaansiin daataa kennamee formulaa armaan gadiin shalagama.
σ^2= , σ^2- Vaariyaansii
Fakkeenya
Umorii dhukonsattoota Hoospitaala Leenca Gurraachaa waardii tokko keessaa akka armaan gadiitti adda bahee galmeessameera. Innis: 38, 26, 13, 41 fi 22 yoo ta’e
Vaaraansii
Maqinsa sirrii umurii dhukubsattoota kanaa barbaadi.
x ̅=(38+26+13+41+22)/5=140/5=28
Umurii (xi) xi-x ̅ (xi-x ̅ )^2
38 38-28=10 100
26 26-28=-2 4
13 13-28=-15 225
41 41-28=13 169
22 22-28=-6 36
140 0 534
σ^2= =534/5=106.8
σ=√106.8=10.3
σ^2 = ta’u mirkaneessi.
σ^2=
=
=
=
=
= sababiin isaa
Amaloota Vaariyaansii/maqinsa/ fi maqiinsa sirrii
Amaloota maqiinsa sirrii keessaakan ijoo kan ta’an armaan gadii tti ibsamaniiru.
Vaariyaansiin hanqina safara faca’insa daataaa keessa jiru xiqqeessa.
Hanqinni vaariyaansii immoo iskuweerii safarootaa ta’uu isaati. Kana jechuun yuunitiin safara jijjiiramaa tokoo cm yoo ta’e, yuunitiin safara vaariyaansii cm2 ta’a.Kun immoo vaariyaasiiin guddaa akka ta’u waan godhuuf haamma vaariyaansichaa safaruun rakkoo ta’a.
Vaariyaansiin gatiiwwan gurguddaaf bakka olaanaa kenna. Sababni isaa immoo waan garaagarummaan iskuweerii ta’uuf jechuu dha.
Maqinsi sirrii safara faca’insa daataa keessaa isa filatamaa fi bal’inaan Kan itti fayyadamnu dha.
Yuunitootni jijjiiramtootaa garaagara yoo ta’an garaagarummaan isaanii maqinsa sirriitiin madaalamuu hin danda’amu.
Gocha 3.5
Gatiiwwan daataa tokko irratti lakkoofsa dhaabbataa tokko ida’uun yookiin irraa hir’isuun maqiinsa sirrii fi vaariyaansii daatichaa maal ta’a?
Maqiinsa sirrii fi vaariyaansiin jijjiirraa yuniitii safara gatiiwwanii waliin jijjiiramaa? Ibsa kenni.
Maxxantuu Vaariyaansii (CV)
Maxxantuun vaariyeeshinii safartuu maqiinsa hariiroo ta’ee, faayidaaleen isaa maqiinsa daataalee lama gidduu jiru wal madaalchisuu ta’a.
Maxxantuun vaariyeeshinii reeshoo maqinsa sirrii gara gatii giddu galaa dhibbaan baay’isuun kan argamu ta’a.
CV=σ/u×100 ta’a.
Hubachiisa
Maxxantuun vaariyeeshinii yuunitii kan hin qabne ta’ee, maxxantuun vaariyeeshinii xiqqaa yoo ta’e caalaa fudhatama kan qabuu fi faca’insi daataaa faca’insi xiqaa ta’uu agarsiisa. Maxxantuun daataa guddaa yoo ta’e garuu faca’insi daataa guddaa ta’uu yookaan kan baay’ee walirraa fagaatu ta’uu agarsiisa.
Fakkeenya
Qabxii taphattoota kubbaa namoota lamaa A fi B armaan gaditti kennamee haa ilaallu.
Taphataa A 12 115 6 73 7 19 119 36 84 29
Taphaataa B 47 12 76 42 4 51 37 48 13 0
Kamitu caalaa filatamaa dha?
Taphataa A
u=500/10=50
σ=√(17498/10)=41.83
C.V=σ/u×100
C.V=41.83/50×100=83.66%
Taphataa B
u=330/10=33
σ=√(5462/10)=23.37
C.V=σ/u×100
C.V=23.37/33×100=70.8%
Kan taphata B caalaa filatamaa ta’a. Sababiin isaa 70.8% < 83.66% waan ta’eef jechuudha.
Gocha 3.6
Hojjettootni hojii walfakkaataa hojjetaan lama A fi B yeroo dheeraa keessa kan armaan gadii agarsiisaniin.
A B
u 30 25
σ 6 4
Hojicha hojjetee fixuuf yeroo yeroo itti fixu ilaalchisee kamitu filatamaa dha.
Isa kamitu hojicha ariifatee fixa?
Furmaata
Hojjetaa A: CV=σ/u×100
CV=6/30×100=20%
Maxxantuun vaareeshinii kan hojjetaa A kan hojjetaa B irra guddaa dha. Kan irraan kan ka’e hojjetaan B hojicha hojjetee xumuruuf fayyadame filatamaa dha.
CV=σ/u×100
CV=4/25×100=16%
Hojjetaan B hojicha ariifatee fixuu danda’a.
Cuunfaa
Safartoota maqiinsaa keessaa kanneen ijoo ta’an:
Reenjii
Maqiinsa giddu galaa
Maqiinsa sirrii
Gilgaala 3.1
Gabateen armaan gadii firii barattootni qormaata gosa barnootaa Herregaa fi Fiziiksii irratti argatan kan agarsiisu dha.
Barattoota Herrega (100%) Fiziiksii (100%)
A 58 70
B 65 82
C 83 46
D 55 95
E 84 45
F 69 62
G 72 86
Reenjiitti fayyadamuun maqiinsa gosoota barnootaa keessatti akkasumas gosootaa barnootaa gidduutti mula’atu shallagi.
Gosti barnootaa barattootni raawwii gaarii irratti agarsiisan kami? Maalif?
Daataa armaan gadii tiif maqiinsa giddu gala shallagi.
Dheerina (cm) Baayina namootaa
48
49
50
51
52
53
54
55
56 15
20
32
35
33
22
20
10
8
Qabxii barattootni 20 qormaata keemistrii irratti galmeessisan armaan gadii tiif:-
gatii giddu galaa maqiinsa sirrii fi maxxantuu vaariyeeshiinii shallagi.
Faca’iinsa daatichaa irratti yaada kenni.
Qabxii barattoota koorsii wal fakkaatu fudhatan lama (A fi B) argatan armaan gadii irraa ka’uun barataan dandeetiin isaa olii fi gadi hin buune kam akka ta’e sababa wajjin ibsi.
68 69 70 75 76 62 85 41 56 58
66 97 99 56 100 75 54 64 88 78
Mee gaatiin giddu gala fi maqiinsii sirrii daataa gatiiwwan 200 qabu tokkoo duraa duubaan, 60 fi 20 haa jennu. Yeroo shallagii safaroota kana gatiiwwan lama kan 13 fi 17 turan dogaggoraan akka 3 fi 67, duraa duubbaan, fudhataman haa jennu. Amma ati gatiiwwan sirrii ta’an bakka buusuun gatii giddu galaa fi maqinsa sirrii, daataa sirreeffamee shallagi.
Faayidaan maxxantuu maqiinsa giddu galaa fi maxxantuu vaariyeeshiinii daataa kennamu tokko qaaccessun keessatti qaban maal akka ta’e kitaabilee wabii gareen dubbisiuun gabaasa dareef dhiyeessaa.
BOQONNAA 4
Carraa Ta’umsaa (sa’aa 16hrs)
Kaayyolee
Xumura boqonnaa kanaatti kaadhimamtootni:
Hiika tarmootaa kanneen akka tuuta ta’iinsaa, bu’aa yaalii, cita-tuutaa tuuta ta’iinsaa fi kkf ni kennu.
Maloota lakkaa’uu addaan ni baasu
Carraa milkaa’ina yaalii tokkoo ni shallagu.
Carraa milkaa’uu dhabuu yaalii tokkoo ni shallagu
Faca’iinsa baayinoomiyaalii fi sirrii addaan ni baasu
Seerota lakkaa’uu
Pirobileemota istaatistiiksiin wal qabatan furuu keessatti haalota (filannoowwan) jiran addaan baafachuuf dirqama tokko tokkoon tarreessuun baayina ta’iinsota adda addaa meeqa akka qabnu ibsuun keenya dirqama ta’a. Kanaan wal qabatee seerotni haalota jiranu ykn baay’ina ta’insoota jiranu ittiin ibsachuuf kan yeroo baay’ee itti fayyadamnu mata duree kana jalatti ilaaluuf yaalla.
Obbo Caalaan bakka jireenya isaanii irraa magaalota sadi(magaala A, Magaala B fi Magaala C) daawwachuuf fedhan keessaa tokko ilaaluuf filannoo geejjibaa sadi(konkolaataa, Baabura ykn xiyaara) yoo qabaatan kaayyoo kana galmaan gahuuf haalota meeqa akka qabanu haala armaan gadiitti ibsuu ni dandeenya.
Magaala tokko filachuuf haalota sadi (n_1=3) qabu.
Maloota geejjibaa jiran keessaa tokko filachuuf haalota sadi (n_2=3) waan qabanuuf doo’ii isaanii gochuuf walumaa galatti haalota 3× 3=9 adda addaa ni qabaatu jechuu dha.
Haalota jiranu kana tokko tokkoon tarreessuun yoo barbaachise garuu danaa damee (tree diagram) armaan gaditti fayyadamuun ni filatama.
4.1.1 Seerota ida’uu fi baayisu
Seera Ida’uu
Yoo gochi duraa tokko haalota n_1 adda addaatiin raawwatamee fi gochi lammaffa immoo haalota n_2 tiin raawwatamee, fi yoo gochootni kun wal faanaa al-tokko raawwatamuu danda’uu baatan, gochoota kana lamaan raawwachuuf walumaa galatii haalotni n_1+n_2 adda addaa ni jiraatu.
Seera baayisuu
Filannoowwan jiranu keessaa isa dura raawwachuuf haalota n_1, isaa itti aanu raawwachuuf haalota n_2 adda addaa yoo jiraatan, filannoowwan lamaanuu duraa duubaan raawwachuuf haalota n_1 〖×n〗2 adda addaa ni jiraatu. Gocha: 4.1 Lakkoofsota dijiitii sadi qabanu keessaa kanneen dijiitiin mana tokkoo isaanii ‘5’ ta’e meeqatu jiru? Lakkoofsota dijiitii lama qabanu fi kan 58 irra caalanu keessaa kan lakkoofsa guutuu ta’an meeeqatu jiru. 4.1.2. Parmuteeshinii (‘permutations’) Wantoota n(n∈Z^+) adda addaa keessaa hamma tokko fakkeenyaaf ‘r’ (r∈Z fi 0≤r≤n) ykn hunda isaanii altokko fudhachuun yoo qindoomina adda addaa kan tartiiba irratti hundaa’e uumne; baayinni qindoominaalee kanaa mallattoo (_n^)P_r tiin ibsama. Tokkoon tokkoon qindoomina kanaa Parmuteeshinii jedhama. Fakkeenya Miseensota {a, b, c} keessa lama al tokko fudhannee waliin yoo qindeessine walumaa galatti qindoominni jiru. ab, ba, ac, ca, bc, cb ni ta’a. Kunis 〖3P〗_2=6 ta’uu isaa agarsiisa. Irra caalaatti hubachuuf mee teessoowwan tarree galan n fi namoota r qabna haa jennu. Haalotni adda addaa kan namoota kana teessoowwan irra teessisnu meeqa akka jiranu argachuuf: Dura nama tokkoon yoo jalqabne, namichi kuni ta’uuf filannoo n qaba. Erga teessoon kun qabameen booda namicha lammaffaa teessisuuf teessoowwan n-1 qabn. Kanaafuu namicha lamaffaa haalota n -1 adda addaatiin teessoo qabachuu ni danda’a. Walumaa galatti namootni akka harkatti dhufeen filataman lamaan haalota adda addaa n(n-1) tiin taa’uu yemmuu danda’anu haaluma kanaan yoo itti fufne, namoota jiranu r hunda leessisuuf haalota (_n^)P_r=n(n-1)(n-2) . . . (n-(r-1) = n(n-1)(n-2)⋯(n-r+1) adda addaa ni qabna jechuu dha. Hiikoo 4.1 n∈Z^+ yoo ta^’ e,n!=n(n-1)(n-2)⋯(3)(2)(1) n!=n(n-1)! fi 0!=1!=1 ta^’ a n! yoo dubbifamu ‘Faaktooriyaalii n’ (n factorial) jechuun ta’a. nP_r=(n(n-1)⋯(n-r+1)(n-r)(n-r-1)⋯(3)(2)(1))/((n-r)(n-r+1)⋯3.2.1)=n!/(n-r)! Fakkeenya Dajiitota 0,3, 4, 5 fi 6 tti fayyadamuun lakkoofsota 10 fi 100 jidduu jiranu meeqa uumuu dandeenya? Gocha 4.2 Gatii 6P_4 barbaadi Yoo nP_4=12 ta’e, n barbaadi. qubeewwan jecha ‘koottu’ jedhu tti fayyadamuun jechoota qubeewwan afur qaban meeqa uumuu dandeenya. 4.1.3. Kombineeshinoota (‘combinations’) Tuuta miseensota n qabu tokko keessaa miseensota hamma tokko r ykn hunda isaanii al tokko fudhachuun yoo gareewwan adda addaa kan tartiiba irratti hin hundoofne uumne baayinni gareewwan kanaa mallattoo (^n)C_r (0≤r≤n) tiin ibsama.
Fakkeenyaa
Yoo tuutni wantootaa {a, b, c}’n kenname fi yoo miseensota lama filachuun barbaachise; gareewwan uumamanu, ab, ac, bc ni ta’u jechuu dha.
Kunis (3^)C_2 yookaan (■(3@2)) =3 ta’uu isaa agarsiisa. Hubachiisa (_n^)C_r mallattoo (■(n@r)) tiin ibsamuu ni danda’a. Kombineeshinii keessatti tartiibni wantootaa ilaalcha keessa hin galu. Gocha 4.3 Hubannoo barnoota Herregaa Kutaa 10ffaa irraa argatte irra ka’uun (_n^)C_r =(nP_r)/r!=n!/(n-r)!r! ta’uu isaa mirkaneessi. Deebii Lakkoofsotni 10 fi 100 jidduutti argamanu dijiitota lama qabu. Kanaafuu dijiitota 5 kennaman keessa lama fudhachuun yoo qindeessine 5P_2=5!/((5-2)!)=(5×4×3!)/3!=20 ta’a. Haa ta’uu malee kanneen keessatti lakkoofsotni 03, 04, 05 fi 06 waan hammatamaniifi warreen kun immoo ulaagaa waan hin guutneef lakkoofsotni ulaagaa guutanu 16 qofa dha. Fakkeenya Garee namoota kudhan qabu keessaa koreen miseensota 4 ykn 4 ol of keessatti hammate ijaaruuf yoo barbaanne haalotni adda adda a meeqatu jiru? Deebii Shallagiin nu gochuu qabnu kan armaan gadi ta’a. =(_10^)C_4 +(^10)C_5 +(^10)C_6 +(^10)C_7 +(^10)C_8 +(^10)C_9 +(_^10)C_10
=10!/4!6!+10!/5!5!+10!/4!6!+10!/3!7!+10!/2!8!+10!/1!9!+10!/0!10!
= 210 +252 + 210 +120 + 45 + 10 + 1
= 848
4.2. Carraa Murteessuu
4.2.1 Seensa carraa ta’umsaa
Jechi carraa ta’umsaa jedhu jechumaan yoo hiikamu hiree (carraa) ta’a. Jalqabni tiyoorii carraa ta’uumsaa jaarraa kudha torbaffaa dura ta’uu danda’a jedhamee yaadama. Saffisaan kan guddate ammoo hojii irra oolmaa gosa barnoota Fiziiksii, Keemistirii Baayoolojii,barnoota xiinsamuu, Ikonomiksii, Biizineesii, Industirii fi Injiineeriingii keessatti dha. Jireenya guyyaa, guyyaa keessatti carraan ta’umsaa ni jiraata. Yoo kaampaaniin Inshuuransii tokko imaammata (danbii bulumaata) barreessuuf, murteessu, ogeessi haala qilleensaa raagu tokko yoo haala qilleensa guyyaa raagu akkasumas dalagaa (hojii) investimeentii yammuu hojjatnu fi k.k.kf keessatti yeroo hundaa yad-rimeen carraa ni jiraata.
4.2.2 Yaad–rimee carraa ta’insaa
Ba’iilee shakkii tokko malee ta’uu danda’an fi Ba’iilee ta’uu hin dandeenye. Kutaa kana keessatti kanneen armaan gadii ilaalla. Ta’iilee muuxannoo guyyaa guyyatti qabnu irraa shakkii tokko malee ta’uu danda’an fi ta’iilee shakkii tokko malee ta’uu hin dandeenye. Jalqabuu dhaaf fakkeenya armaan gadii fi hojii garee itti aanuu ilaala.
Fakkeenya
Gaafiilee armaan gadii dhugaa yookiin soba jechuun deebisuun sababa kenni.
- Guyyaan wiixatatti aanee argamu kibxata dha.
- Sararonnii lama kan walqaxxaamuran tuqaalee sadii irratti.
- Bishaan yoo danfe aananitti geeddarama.
- Aduun karaa bahaatiin baati.
- Namni ni du’a.
- Yugaandaan biyya ardii Awurooppaa keessatti argamtu dha.
Hiikoo 4.2
Yoo ta’iitiin ba’iilee tokko shakkii kan hin qabne ta’e ba’iin akkasii ba’ii shakkii hin qabne jedhama. Carraan ta’umsa isaas 1 dha.
Ta’iitii ba’ii irratti carraan shakkii malee ta’uu yoo jiraate ba’iin akkasii ba’ii ta’uu danda’u jedhama.
Ta’iitiin ba’ii tokko kan hin danda’amne yoo ta’e ba’iin akkasii ba’ii ta’uu hin dandeenye jedhama. Carraan ta’umsa isaas 0 dha.
4.2.3 Carraa ta’umsa ta’iilee sasalphoo
Barannoo armaan dura ilaalle keessatti muuxannoowwan guyyaa guyyaa kee keessaa ba’iilee ta’iitiin isaanii shakkii hin qabne, ba’iilee ta’itiin isannii hin danda’amnee fi ba’iilee ta’itiin isaaanii danda’aman muraasa ilaallee jirra.
Fakkeenya
Dinaara tokko yoo ol darbannee fakkii leencaa yookiin fakkii namatu ol garagalee ul’ata.Ta’iitii (argamuu) fakkii leencaa irratti shakkiin ni jira. Sababnis yoo dinaara ol darbatte fakkiin leencaa yookiin namaa argamuu ni mala.
Fakkeenya
Yoo daayiin tokko al tokko ol darbatame lakkoofsota 1 hamma 6 keessaa tokko fuula daayii ol garagale irratti mul’achuu ni mala. Lakkoofsi tokko ol garagalee fuula daayii irratti mul’achuuf shakkiin ni jiraata.
Golee kana keessatti yaad-rimeewwan kana Herregaan wal qabsiifna.Tiyooriin kanaan alqabatus tiyoorii carraa ta’umsaa jedhama. Carraan ta’umsaa yaalii waliin walqabata, innis ba’iileen isaa kan dursee beekamuu hin dandeenye dha.
Yaalii, tuuta ba’iilee jiraachuu danda’anii fi ta’iilee
Gocha 4.4
Kanneen armaan gadii cimdiidhaan hojjedhaa.
Dinaara tokko al 10 ol darbachuun, ta’iitii isaa galmeessaa.
Si’a meeqaaf fakkiin leencaa mul’ate?
Si’a meeqaaf fakkiin namaa mul’ate?
Daayii tokko al ja’a ol darbachuun ta’iilee isaa galmeessi.
Yeroo meeqaaf lakkoofsi tokko mul’ate?
Yeroo meeqaaf lakkoofsi 2 mul’ate?
Yeroo meeqaaf lakkoofsi 3 mul’ate?
Yeroo meeqaaf lakkoofsi 4 mul’ate?
Yeroo meeqaaf lakkoofsi 5 mul’ate?
Yeroo meegaaf lakkoofsi 6 mul’ate?
Dinaarota lama al tokkotti si’a 10 ol darbachuun ta’iitii isaanii galmeessi.
Yeroo meeqaaf fakkii leencaa, fakkii leencaa mul’ate?
Yeroo meeqaaf fakkii leencaa, fakkiin namaa mul’ate?
Yeroo meeqaaf fakkii nama, fakkiin leencaa mul’ate?
Yeroo meeqaaf fakkii namaa, fakkiin namaa mul’ate?
Gocha 4.5
Keessatti yaaliiwwan hojjettaniittu. Hiikoon yaalii fi yaad-rimeewwan isaan wal qabatan akka armaan gaditti kennamaniiru.
Hiikoo 4.3
Yaalii jechuun gocha raawatamu keessatti shakkii tokko malee dursaan kanatu ta’a jedhamee agarsiisamuu kan hin dandeenye dha (gocha ba’iiwwan isaa shakkii malee raagamuu hin danda’amnee dha.)
Yaalii tasaa jechuun yaalii haalota wal fakkaatan keessatti irra deddeebi’amee yaalamee dha. Garuu yaalii ba’iin isaa dursee beekamuu hin dandeenye dha. Jechi tasa jedhu ba’iileen yaalii kanaa shakkii akka of keessaa qaban agarsiisa. Kanaafuu tiyoorii carraa ta’umsaa keessatti yaalii tasaa kan shakkii of keessaa qaban qo’anna.
Raawwiin yaalii tasaa murtaa’aan kamiiyyuu yaalii (trial) jedhama.
4.3. Hiikoo carraa ta’iilee ba’ii walfakkaataa qabanii.
/Definition of Probability of an Event with Equally Likely Out comes.
Hiikoo 4.4
Mee S tuuta ba’iilee ta’uu danda’anii fi T immoo ta^’ ii haa jennu. Carraan ba’iilee lamaa kamiyyuu carraa ta’ii walfakkaatu yoo qabaatan carraa ta’iilee ba’ii walfakkaatan qaban jedhamu.
Kana keessatti P(T)=(b(T))/(b(S))
Hubachiisa
Kana keessatti carraa ta’umsaa murteessuu yeroo hundumaa ba’iilee ta’ii lakkaa’uu dha.
Fakkeenya
Dinaara tokko yoo ol darbanne carraa ta’umsaa ta’iilee armaan gadii barbaadi.
Fakkiin leencaa ol garagalee mul’achuu isaa.
Fakkiin namaa ol garagalee mul’achuu isaa.
Daayiin tokko ol yoo darbatamee carraa ta’umsa ta’ii armaan gadii barbaadi.
Lakkoofsota ol galagalan lamaa 3 ta’uu.
Lakkoofsota ol galagalan lakkoofsa guutuu ta’uu.
Lakkoofsota ol galagalan lakkoofsa mangoo ta’uu.
4.4. Amaloota carraa ta’iilee/Properties of Probability of an Event/
Hiikoo 4.5
Yaalii tasaa kamiifuu tuutni ba’iilee ta’uu danda’an hunda qabate tuuta carraa ta’umsaa (tuuta ba’iilee ta’uu danda’anii) (sample space) jedhama. Tuuta kana qubee S’n mallatteessina.
Fakkeenya
Darbannaa dinaara tokkoo keessatti tuuta carraa ta’umsaa barbaadi.
Darbannaa daayii tokko keessatti tuuta carraa ta’umsaa barbaadi.
Ol darbannaa al tokkoo dinaara lamaa keessatti tuuta carraa ta’umsaa barbaadi.
Furmaataa
Yemmuu dinaara ol darbannu ba’illeen ta’uu danda’an fakkii leencaa, mallattoo H, fi fakkii namaa mallattoo T’n agarsiifama. Kanaafuu tuutni carraa ta’umsaa yaalii kanaa S = {H, T}
Hubadhu:
Kanaan booda yaalii darbannaa dinaara keessatti ba’iin fakkii leenacaa “H” mallatteeffama ba’iin fakkii namaa “T” mallatteeffama.
Yemmuu daayii tokko ol darbannu ba’iileen argamuu danda’an 1, 2, 3, 4, 5 fi 6 dha. Kanaafuu tuutni carraa ta’umsaa (S) yaalii kanaa S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dha.
Dinaara lama al tokkootti ol darbachuu dhaan ba’iileen argamuu danda’an
HH, HT, TH fi TT. Kanaafuu ba’iileen waliigalaa S = {HH, HT, TH, TT} dha.
Hiikoo 4.6
Ta’ii (E) yaalii tokkoo cita tuuta tuuta carraa ta’umsaa yaalii kanaati.
Fakkeenya
Dinaara tokko fi daayii tokkoo al tokkotti yoo ol darbanne ta’ii armaan gadii
barbaadi.
Fakkii leencaa fi lakkoofsa guutuu.
Fakkii namaa fi lakkoofsa kophxii.
Furmaata
Dinaara tokkoo fi daayii tokko al tokkotti yoo ol darbanne tuutni ba’iilee ta’uu
danda’anii kan yaalii kanaa S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}
Ta’iin fakkii leencaa fi lakkoofsa guutuu argachuu E = {H2, H4, H6}
Ta’iin fakkii namaa fi lakkoofsa kophxii argachuu E = {T2, T3, T5} dha.
Fakkenya
Kaardota hammina tokkoo fi halluu gosa tokkoo qaban 6 qopheessuun, jecha MATTER jedhu keessaa qubee tokko kaardii tokko irratti barreessi. Kaardota kana 6’n sirritti walitti makuun yeroo tokkotti kaardii tokko baasuun yoo danda’ame;
Ta’ii kaardii qubee dubbachiiftuu qabu baasuu barbaadi.
Ta’ii kaardii qubee dubbifama qabu baasuu barbaadi.
Ta’ii kaardii qubee T qabu baasuu barbaadi.
reeshoon
ta’ii qubee dubbachiiftuu gara qubeewwan waliigalatti meeqa?
ta’ii qubee dubbifamaa gara qubeewwan waliigalaatti meeqa?
ta’ii qubee T gara qubeewwan waliigalatti meeqa?
Furmaata
Jecha MATTER jedhu keessa dubbachiiftuu lamatu jira, A fi E. Kanaafuu ta’iin kaardii dubbachiiftuu E = {A, E}dha.
Jecha MATTER jedhu keessa dubbifamaa 4tu jira isaanis M, T, T fi R.
Kanaafuu ta’iin yaalii kanaa E = {M, T, T, R}. T’n lama kan ta’eef sababii jecha kenname keessa T lama jiruuf dha. Kana malees kaardota lama kanneen T irratti barreeffame lama waan jiraniif.
Jehca MATTER jedhu keessa qubee T lamatu jira. Kanaafuu E = {T,T} dha.
Reeshoon:
ta’in qubee dubbachiftuu gara qubeewwan waliigalaatti 2/6 dha.
ta’in qubee dubbifamaa gara qubeewwan waliigalaattii 4/6dha.
ta’in qubee T gara qubeewwan waliigalattii 2/6 dha.
Tokkoon tokkoon ba’iilee carraa wal qixaa qaban haa jennu. Baay’inna ba’iilee ta’ii keessaa baay’ina ba’iilee waliigalaan yoo walbira qabne ta’uu danda’uu yookiin carraa ta’umsaa ta’ii walmadaalchisaa jirra jechuu dha.
Hiikoo 4.7
Tuunni ba’iilee jiraachuu danda’anii ba’iilee lakka’amuu danda’anii fi carraa walqixaa qaban of keessatti qabate yoo ta’e carraan ta’umsaa ta’ii, P(E) reeshoo baay’ina ba’iilee ta’ii keessa jiran, n(E), gara baay’ina ba’iilee jiraachuu danda’an hundaa, n(S), ti. Baayina
P(E)= (ba’iilee ta’iilee keessaa)/(baay’ina ba’iilee hundaa) = (n(E))/(n(S))
Fakkeenya
Dinaara tokko al tokko ol darbadhuun carraa ta’umsaa kanneen armaan gadii argachuu barbaadi.
Fakkii leencaa
Fakkii namaa ta’umsaa kanneen.
Daayii tokko al tokko ol darbadhuun carraa ta’umsaa kanneen armaan gadii argachuu barbaadi.
lakkoofsa 3
lakkoofs kophxii
lakkoofsa guutuu
lakkoofsa irra guddaa yookiin walqixa 5
Furmaata:
a. Dinaara tokko al tokko ol darbachuun ba’iileen waliigalaa S = {T, H} fi ta’iin fakkii
leencaa argachuu E = {H}. Kanaafuu Carraan ta’umsaa fakkii leencaa argachuu
P(H) = (n (E))/(n (S)) = 1/2
ta’iin fakkii namaa argachuu E = {T}. Kanaafuu carraan ta’umsaa fakkii namaa argachuu P(T) = (n (E))/(n (S)) = 1/2
Daayiin tokko yemmuu ol darbatamu tuutni ba’iileen jiraachuu danda’anii
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dha.
Ta’itiin lakkoofsa 3 argachuu E = {3}. Kanaafuu carraan ta’umsaa lakkoofsa 3 argachuu P(E) = (n (E))/(n (S)) = 1/6 dha.
Ta’iin lakkoofsa kophxii argachuu E = {2, 3, 5}. Kanaafuu carraan ta’umsaa lakkoofsota kophxii argachuu P(E) = (n (E))/(n (S)) = 3/6=1/2 dha.
Ta’iin lakkoofsa guutuu argachuu E = {2, 4, 6}. Kanaafuu carraan
ta’umsaa lakkoofsa guutuu argachuu P(E) = (n (E))/(n (S)) = 3/6=1/2 dha.
Ta’iin lakkofsa irra guddaa yookiin walqixa 5 argachuu = {5, 6}.
Kanaafuu carraan ta’umsaa yaalii kanaa P(E) = (n (E))/(n (S)) = 2/6=1/3 dha.
Fakkeenya
Okkoteen tokko kubbaa diimaa 6, Magariisa 5, Cuquliisa 8, fi keelloo 3 qabatee jira. Yoo kubbaan tokko okkotee kana keessaa filatame, akka tasaatti
Carraa ta’umsaa kubbaan filatame diimaa ta’uu barbaadi.
Carraa ta’umsaa kubbaan filatame magariisa ta’uu barbaadi.
Carraa ta’umsaa kubbaan filatame cuquliisa ta’uu barbaadi.
Carraa ta’umsaa kubbaan filatame keelloo ta’uu barbaadi.
Furmaata
Ba’iileen yaalii kana irraa argamuu danda’an diimaa, magariisa, cuquliisaa fi keelloo dha.
P(diimaa)= (Baay’ina karaa diimaa itti filannu)/(Baay’ina waliigala kubbootaa)=6/22=3/11
P(magariisa)= (Baay’ina karaa magariisa itti filannu)/(Baay’ina waliigala kubbootaa)=5/22
P(cuquliisa)= (Baay’ina karaa cuquliisa itti filannu)/(Baay’ina waliigala kubbootaa)=8/22=4/11
P(keelloo)= (Baay^’ ina karaa keelloo itti filannu)/(Baay’ina waliigala kubbootaa)=3/22
Hubadhu:
Fakkeenya armaan olii keessatti, carraan ta’ii firaakshinii fi deesiimaaliin ibsameera. Yoo carraa ta’ii P(E) 100% baay’ifne dhibbantaan carraa ta’umsaa ta’ii kennamee arganna. Fakkeenya 6 armaan olii haa ilaaluu.
Jecha “MATTER” jedhu keessatti dhibbantaan carraa dubbachiiftuu argachuu P(dubbachiiftuu) = 0.2 × 100% = 20%
Jecha “MATTER” jedhu keessatti dhibbantaan carraa dubbifamaa argchuu P(dubbifamaa) = 0.8 × 100% = 80%
Jecha “MATTER” jedhu keessatti dhibbantaan carraa qubee T argachuu P(qubee T) = 0.2 × 100% = 20%.
Gocha 4.6
Yaalii darbannaa daayii fudhachuun gaaafiilee armaan gadiif deebii kenni.
Tuutni ba’iilee yaalii kanaa maal ta’a?
Tuunni ba’iilee jiraachuu danda’anii ta’ii dhaa? Tanaan carraa ta’umsa isaa barbaadi.
Ta’ii lakkoofsa irra guddaa 7 argachuu barbaadi. Carraa ta’umsa isaas barbaadi.
Ta’ii lakkoofsa guutuu argachuu barbaadi.
Himama hariiroo ta’iilee fi carra ta’umsa isaanii jidduu jiru ibsu barreessi.
Hubadau
Carraan ta’umsaa ta’ii shakkii hin qabnee 1 dha.
Carraan ta’umsaa ta’ii ta’uu hin dandeenyee 0 dha.
Baay’inni miseensota ta’ii E yeroo maraa irra xiqqaa yookiin walqixaa baay’inna miseensota tuuta ba’iilee jiraachuu danda’anii S ti.
Kana jechuun, 0 ≤ P (E) ≤ 1 dha.
Kanaafuu ta’ii E kamiifuu 0 ≤ P (E) ≤ 1.
GILGAALA 4.1
Dinaara tokko al afuri yoo ol darbanne carraa ta’umsaa ta’iilee armaan gadii barbaadi.
Fakkiin leencaa lama ol garagalee mul’achuu isaa.
Yoo xiqqaate fakkiin leencaa al tokko ol garagalee mul’achuu isaa.
Fakkiin namaa al sadii ol garagalee mul’achuu isaa.
Daayiin lama ol darbatamee ida’amni lakkoofsota olgaragalanii mul’atanii galmaa’e carraa ta’umsaa ta’iilee armaan gadii barbaadi.
Ida’amni lakkoofsota lamaa 3 dha.
Ida’amni lakkoofsota lamaa 12 dha.
Mee haati kee miseensa “afooshaa tokkoo kan” miseensota 40 qabuuti haa jennu. Yoo miseensota 15’f carraan kun baheef, carraa ta’umsaa carraa haati kee kan isa dhufutti argachuu qabdu barbaadi.
Footuun tokko sekteroota walqixaa afur kan halluu keelloo, cuquliisa, magariisaa fi diimaa dibame qaba.
Footuu kana yoo naanneessine carraan ta’umsaa cuquliisni lafatti aanuu meeqa?
Footuu kana yoo naanneessine carraan diimaan lafatti aanuu meeqa?
Ta’iilee wal daangessanii fi wal hindaangessine /Mutually exclusive and non- exclusive Events/
Hiikoo 4.8
Ta’iiwwan lamaa fi isaa olii keessatti ba’iin isa tokkoo kan biroo kan daangessu/hin hammanne yoo ta’e ta’iilee wal daangessan jedhamu.
Ta’iiwwan lamaa fi isaa olii keessatti ba’iin isa tokkoo kan biroo kan hin daangessu/ hammata yoo ta’e ta’iilee wal hin daangessin jedhamu.
Haala kanaan T_1 fi T_2 ta’iilee wal daangessan yoo ta’an 〖P(T_1 T〗2)=0 ta’a. 〖Yoo T〗_1+T_2 kan agarsiisu ta’iilee 〖”T〗_1 yookaan T_2 yookaan lamaanuu ta’uu” agarsiisa ta’e, P(T_1+T_2 )=P(T_1 )+P(T_2 )-P(T_1 T_2) ta’a. Hubachiisa T_1 fi T_2 ta^’ ii wal daangesoo yoo ta^’ an,P(T_1+T_2 )=P(T_1 )+P(T_2 ) ta’a. T_1 fi T_2 ta^’ ii wal hin daangessine yoo ta^’ an,P(T_1+T_2 )=P(T_1 )+P(T_2 )-P(T_1 T_2) ta’a Fakkeenya Daayii tokko erga al tokko ol darbannee booda fuulli karaa irraa ooluu kan mallattoo 5 ykn 6 of irraa qabu ta’uuf carraan jiru meeqa ta’a? Mee T_1=5 fi T_2=6 haa ta^’ an. T(1 ) fi T_2 ba’ii waliinii hin qabaatan. Kanaafuu T_1 fi T_2 ta’ii wal daangessan jedhamu.
P(T_1+T_2 )=P(T_1 )+P(T_2 )
= 1/6+1/6=1/3 ta^’ a.
Fakkeenya
Barattoota 100 kan mana barumsaa tokko keessatti barachaa jiran keessaa 50 yeroo boqonnaa isaanii barullee adda addaa dubbisuun, barattootni 30 fiilmii adda addaa ilaaluun, akkasumas barattootnii 10 immoo barullee adda addaa dubbisuu fi filmii ilaaluun kan dabarsan yoo ta’an fi barataan tokko yoo akka qindeessatti filatame barataan kun kan barullee dubbisan ykn kan filmii ilaalan keessaa fulatamuuf carraan jiru hammam ta’a?
Mee Warreen barrullee dubbisan T_1, warren fiilmii ilaalan immoo T_2 haa moggaafnu. Haaluma kanaan:-
Baayinii miseensota T_1=50
Baayinii miseensota T_2=30
Baayinii miseensota T_1 fi T_2=10
Kanaafuu P(T_1∪T_2 )=P(T_1 )+P(T_2 )-P(T_1 T_2)
= 50/100+30/100-10/100=0.7 ta^’ a.
Hubachiisa
T_1 fi T_2 ta’ii wal hin daangessine jedhamu.
4.6. Carraa haala irratti hundaa’e/Conditional probability/
Hiikoo 4.9
A fi B ta’iiwwan haa ta’an. Carraan ta’umsa B erga ta’insi A raawwatee booda ta’u carraa B haala irratti hundaa’e jedhama.
P(B¦A) Carraa B haala irratti hundaa’e erga ta’insi A raawwatee booda jedhama.
Hiikoo 4.10
Yoo ta’uu fi ta’uu dhiisuun ta’ii A carraa ta’ii B irratti dhiibbaa kan hin geessisne fi P(B¦A)=P(B) ta’e, A fi B ta’iilee of danda’an independent events/jedhamu. Kana ta’uu baannaan garuu ta’iilee hirkatoo/dependent events/ jedhamu.
A fi B ta’iilee of danda’oo yoo ta’an P(AB)=P(A)P(B) ta’a.
Gocha 4.7
Dinaara tokko walitti aansuun al-lama yoo darbatame ba’iin argamu ta’ii of danda’aa moo hirkataa dha?
Fakkeenya
Mee A fi B ta’iiwwan haa ta’an. Dinaara tokko ol darbachuun ba’iin 5ffaa fi 6ffaa wal duraaduubaan fakkii namaa ta’e. kanaafuu A fi B ta’iiwwan of danda’oo jedhamu. Darbannaa dinaaraa 5ffaa fi 6ffaa irratti carraan fakkii naamaa argachuu kan armaan gadii ta’a.
P(AB)=P(A)P(B)=(1/2)(1/2)=(1/4) ta’a.
Fakkeenya
Carraan waggaa 20 jiraachuu A 0.7 fi carraan waggaa 20 jiraachuu B 0.5 yoo ta’e carraan lamaanuu waggaa 20 jiraachuu (0.7)(0.5) = 0.35 ta’a.
Fakkenya
Sanduuqni tokko kubba adii 3 fi gurracha 2 qabateera. Mee T_1 ta’ii “kubbi jalqabaa ka’e gurraacha” fi T_2 ta’ii “ kubbaan lammaffaa irratti ka’e gurraacha” ta’ee erga kaafamanii sanduuqichatti hindeebine haa jennu.
Carraan kubbi jalqabaa gurraacha ta’uu P(T_1 )=2/((2+3))=2/5. Erga carraan kubbi jalqaba ka’e gurraacha ta’uun kennamee booda, Carraan kubbi lammaffaas gurraacha ta’uu
P(T_2/T_1 )=1/((1+3))=1/4.
Kanaafuu carraan kubbi ka’ame lamaan gurraacha ta’uu P(T_1 T_2 )=P(T_1 )P(T_2/T_1 )=2/5*1/4=1/10.
Fakkeenya
Agarsiisa daldalaa tokkoo keessa dhiira 60 fi dhaalaa 40 jiru. Isaan keessaa dhalaa 24 fi dhiirri 16 golgaa ijaa kaa’ataniiru. Walitti qabama kana keessaa carraan hojjetaa golgaa ijaa keewwate filachuu 〖P(T〗_1)=(24+16)/(60+40)=40/100=0.4
Carraan akka tasaa hojjetaa dhiiraa golgaa ijaa keewwate kaasuu 〖P(T〗_1)=16/40=0.4.
Hubachiisa
Ta’iin dhiira ta’uu fi golgaa ijaa keewwachuu walitti hirkatoo miti.
Fakkeenya
Mee T_1 ta’ii barattoota cimoo dhaabbata leenjii barsiisotaa kolleejjii oromiyaa irraa eebbifaman ta’ee 〖P(T〗_1)=0.72 akkasumas T_2 ta’ii barattoota ciccimoo fi baay’innaan dhaabbatichi eebbisiisu ta’ee 〖P(T〗_2)=0.56 haa ta’u. Carraan dhaabbatni barattoota baay’inaan leenjisu qulqullinaanis leenjisuu P(T_2/T_1 )=0.56/0.72=0.778 ta^’ a.
Cuunfaa
Yaalii irra deddeebi’amee al-n, raawwatame tokko keessatti yoo bu’aa yaalichaa baayinaan m ta’u wal fakkaataa ta’e, yaalii yoo kanaaf ta’iinsi (carraan) argama wantoota kanaa lakkoofsaan bifa reeshoo ‘m’/n tiin ibsama.
Walitti qabamni bu’aawwan yaalii tokkoo hundi tuuta ta’iinsaa jedha.
Mee S’n tuuta ta’iinsaa E’n immoo cita-tuuta tuuta ta’iinsaa kami iyyuu yoo ta’an, carraan cita tuutaa E:
P(E)=(baayina miseensota E)/(Baauina miseensota S) ta’a.
Yoo waan tokko raawwachuuf filannoowwan n kan itti aanu raawwachuuf karaawwan m qabaatne, walumaa galatti hojii kan raawwachuuf filannoowwan n×m ni jiraatu.
Baayinni parmuteeshinootaa wantoota n keessaa r’n al tokko fudhachuun raawwatamu irraa argamu:
nPr ykn P(n,r)=n(n-1)(n-2) . . . (n-r+1)= n!/(n-r)! ta’a.
Baayinni gareewwanii kan wantoota n keessaa r al tokko fudhachuun uumamu.
(_n^)c_r ykn c(n,r) ykn
C(n,r)=(p(n,r))/r!=n!/r!(n-r)! ta’a.
Gilgaala 4.2
Gaaffilee armaan gadii gareen erga irratti mariyataniin booda yaada walii galaa dareef dhiyeessi.
Yoo S’n tuuta ta’iinsaa, A’n cita-tuuta S ta’e, P(A’) =1 – P(A) dhugaa ta’uu isaa mirkaneessi.
Cita –tuuta ta’iinsaa A kamiifuu himni 0 ≤P(A)≤1 jedhu dhugaa ta’uu isaa agarsiis.
Daayiiwwan lama kan halluu diimaa fi gurraacha dibaman al tokko yoo ol fururfaman kanneen armaan gadii barbaadi.
Tuuta-ta’iinsaa;
Cita-tuutaa tuuta ta’iinsaa kan ida’amni cimdii tokkoo 7 kennuu fi carraa cita-tuuta kanaa
Taamuniin tokko al afurr yoo ol fururfame:
Tuuta ta’iinsa gocha kanaa barbaadii
Carraa firii gocha kanaa keessaa mallattoon ‘H’ sadi fi ol ta’uu danda’uu shallagi.
Dhaabbata daldalaa miseensota 1000 qabu keessaa 60% dhiiraa dha. 45% miseensota kanaa dabalatee dhalaan 175 waraqaa eenyummaa dhaabbata kanaa qabu. Miseensi tokko akka harkatti dhufeen dhaabbata kana keessaa yoo hojii addaa tiif filatame kanneen armaan gadii hojjedhu.
Carraa miseensi filatame dhiira ta’uuf qabu.
Carraa miseensi filatame dhaalaa ta’uuf qabu.
Carraa miseensi filatame dhiira ykn kan waraqaa eenyuma qabu ta’uuf qabu.
Miseensichi filatame dhalaa ta’uun ishee yoo beekamte carraa miseensa waraqaa eenyummaa dhaabbatichaa hinqabne ta’uuf qabdu shallagi.
Saalli miseensotaa fi qabaachuu ykn qabaachuu dhabuun waraqaa eenyumma guutumaan guututti cita tuutota waliin bilisaa ni ta’uu?
Mee Goobanaa fi caalaan konkolaattota adda addaa lama yaabbachuun karaa deeman haa jennu. Itti dabalataanis yeroo barbaadametti bakka barbaadan gahuuf carraan Goobanaan qabu 1/3 fi carraan caalaan qabu 1/5 yoo ta’e kanneen armaan gadii barbaadi.
Carraa Goobanaan yeroon bakka barbaade osoo hin gahin hafu qabu.
Carraa namootni lamaanuu yeroon bakka barbaadanu gahuuf qabanu.
Carraa namoota lamaan keessa tokko bakka barbaadanu yeroon gahuuf qaban.
Carraa namootni lamaanuu bakka barbaadanuu yeroon ala gahuuf qabanu.
Sanduuqa A keessaa kubbaawwan saddeti jiranu keessaa sadi halluu cuquliisaa kan dibaman yoo ta’u sanduuqa B keessa kubbaawwan jiranu shan keessaa lama halluu cuquliisa, sadi immoo hallluu diimaa kan dibamanii fi hammina (‘size’) wal qixa ta’e kan qabanu dha. Kubbaan tokko akka harkatti dhufeen sanduuqota lamanuu keessaa yoo baafame carraalee armaan gadii barbaadi.
Carraa kubaaleen lachuu kan halluu diimsaa dibaman ta’uuf qaban.
Carraa kubbaan tokko diimaa tokkoo immoo cuquliisa dibaman baasuuf qabnu.
Kutaa barattootni dhiiraa ‘kudha lama’ (12) fi dubara afur qabu keessaa barattootni sadi akka harkatti dhufeen yoo filatamani, carraan barattoota sadanu dhiira keessaa filachuu ni dandeessisu meeqa ta’a?
Maatiin tokko ijoollee lama godhachuuf yoo karoorfate carraan maatiin kun ijoollee dhiiraa qofa itti horachuuf qabu meeqa?
Barsiisotni mana barumsaa tokko haala armaan gadii tiin sadarkaa qabanuun ibsaman haa jennu.
Sadarkaa Dhiira Dhalaa
Barsiisaa olaanaa 20 12
Barsiisaa 18 20
Barsiisaa jalqabaa 25 30
Gaaffii
Miseensota mana barumsaa kana keessaa barsiisaan tokko akka harkatti dhufeen yoo filatame carraan barsiisaan kun ta’iinsota armaan gadi irratti qabu shallagi.
Dhiira
Dhalaa(barsiisaa olaanaa)
Kan filatame barsiisaa olaanaa ta’uun isaa yoo beekame dhalaa keessa ta’uuf carraa jiru.
Dhalaa ykn barsiisaa olaanaa
Barsiisaa olaanaa ykn barsiisaa jalqabaa
Kolleejjii tokko keessatti barsiisota Herrega 7 fi barsiisota keemistirii 5tu jeru. Kolleejjichi koree sirna barnootaa kan barsiisota Herrega 3 fi barsiisoita Keemistirii 2 of keessaa qabu dhaabuuf barbaade haa jennu. Muummee tokko keessa barsiisotni jiranu haala harkatti dhufeen yoo filataman, koree kana ijaaruuf karaawwan adda addaa meeqatu jiru?
Qubeewwan jecha “OROMIYA” jedhu irraa jechoota adda addaa meeqatu ijaaramuu danda’u?
Manoota jireenyaa kireeffamuuf qophaa’san 8 keessaa manni lakkoofsa 1, haaraa kan ijaramee, kan kutaa ciisichaa, kutaa fincaanii fi kutaa keessumaa qabu dha; manni lakkoofsa 2 erga ijaarame turtii waggaa tokkoo fi kutaa ciisichaa qofa kan qabu dha; manni lakkoofsa 3 erga ijaarame turtii waggoota 2, kutaa ciisichaa fi bakka fincaanii qofa qaba; manni lakkoofsa 4 erga ijaarame turtii waggoota 3 fi kutaa ciisichaa qofa qaba; mannii lakkoofsa 5 kan haaraa ijaarame fi kutaa keessummaa qofa qaba; manni lakkoofsa 6 erga ijaarame turtii waggaa 1 fi kutaa ciisichaa qofa qaba; manni lakkoofsa 7 erga ijaarame turtii waggoota 2 fi kutaa keessummaa qofa kan qabu yoo ta’u; manni lakkoofsa 8 immoo erga ijaaramee turtii waggoota 3, kutaa ciisichaa fi kutaa fincaanii qofa kan qabu dha. Yoo namni mana kiraa barbaadu tokko manoota kaneen keessaa tokko kiraa fudhate ta’e cita-tuutota tuuta ta’iinsaa armaan gadii ijaarii
Mmana haaraa kan filatate yoo ta’e
Mana kutaa ciisichaa hin qabne kan filate yoo ta’e.
Mana kutaa fincaanii qabu kan filate yoo ta’e.
Mana turtii waggaa 1 ykn waggoota 2 qabu kan filate yoo ta’e.
Mee gaaffilee filannoo 6 kan filannoowwan afur afur qabantu jiru haa jennu. Gaaffileen kun filannoowwan jiranu keessaa deebii sirrii tokko qofa yoo qabaatanii fi barataan filaannoowwan kennaman keessaa kan deebii ta’u kami akka ta’e osoo hin beekiin akka harkatti dhufeefitti yoo deebisee carraawwan barataan kun kanneen armaan gadii irratti qabu shallagi.
Deebii sirrii ta’e 4 qofa deebisuu
Deebii hundaa dogoggoruu
Yoo baay’ate deebii sirrii 2 deebisuu
Kitaabilee Wabii
Bluman, A.G (1995). Elementary Statistics, A Step by Step Approach (2nd ed.). Wim.C.Brown Communications, inc
“Gupta C.B An introduction to statistical Method New delhi. Vikas pub. House, 1982”
C.B. Gupta. Vijay. Gupta, an introduction to statistical method, 23rd revised edition, New Delhi. Vikas pub. House 2004.”
Symour Lipschutz, John schiller, introduction to probability and statistics, schaum’s out-lines. New Delhi Tata McGraw-Hill pub. Comp”
‘Jit S chandan. Statistics For Business and Economic, New Delhi.Vikas pub. House 1998’